17讲-平面应力状态分析——解析法-(2)

第十七讲平面应力状态分析——解析法湖南理工学院——曾纪杰1问题的提出（正截面上的应力）讨论基本变形强度问题时的共同特点:危险截面上的危险点只承受正应力:F][AF拉(压):一应力状态的概念][PmaxmaxWM扭转:讨论基本变形强度问题时的共同特点:危险截面上的危险点只承受剪应力:M中性轴Mmaxmax][*bISFzzQ][maxmaxWxM讨论基本变形强度问题时的共同特点:危险截面上的危险点只承受正应力或剪应力：轴向拉压：同一横截面上各点应力相等：AFFF同一点在斜截面上时：2cos2sin2此例表明：即使同一点在不同方位截面上，它的应力也是各不相同的。2斜截面上的应力单元体3一点应力状态的描述0dzdydx,,分析一点应力状态的目的：1）解释材料破坏的原因；2）在强度理论中的应用。（1）三向（空间）应力状态1234应力状态的分类：（2）平面（二向）应力状态xyxy单向应力状态纯剪应力状态xyxxy（3）简单应力状态三向应力状态平面应力状态单向应力状态纯剪应力状态特例特例图示为一矩形截面铸铁梁，受两个横向力作用。从梁表面的A、B、C三点处取出的单元体上，用箭头表示出各个面上的应力。BACFFaa课堂练习ABCFPlaS课堂练习绘图示构件固端S截面上、下、左、右切线点处的应力单元体二平面应力状态分析—解析法1.斜截面上的应力已知受力构件中的应力单元体xyxxy求垂直于xy面的任意斜截面ef上的应力ef公式推导使用的符号规定：α角:由x正向逆时针转到n正向者为正；反之为负。nx正应力:yx拉应力为正x压应力为负切应力:yx使单元体或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。αα公式推导(1)面上的应力：exyfxbeyfnxyyx0F0nFdAcoscosdAxsincosdAxcossindAysinsindAy0dAsincosdAxcoscosdAxsinsindAycossindAy022cos1cos222cos1sin2yxxy22cos2yx2sinx2sin2yx2cosxa2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx用斜截面截取，此截面上的应力为22sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx公式推导(2)面上的应力：xyyxxyyx即单元体两个相互垂直面上的正应力之和是一个常数。即又一次证明了剪应力的互等定理。公式推导(3)面上的应力之间的关系：,?maxmin2.在何处?该处?0dd令,0222sin22cosxyx则:022sin22)cos(xyx即:0面上有maxmin在何处?0令022sin2cosxyx得:yxxotg22将代入式,得o2222xyxyx)(maxmin显然,在面上0maxminmaxmin,0dd02sin22cos22xyx3、=?在何处？该处σ=？令0)2sin2cos2(2xyxxyxtg220maxmin0002sin2cos22xyxyx面上的正应力:即:方位:大小:22maxmin)2(xyx将代式,得:04、主平面、主应力、主应力的排列主平面：单元体中只有正应力而没有剪应力的平面称为主平面。主应力：主平面上的正应力称为该点的主应力。主应力的排列：用代数值确定，排列为213321、、40MPa30MPa60一点处的平面应力状态如图所示。已知,30,60MPax.30MPaxy试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。,40MPay例题140MPa30MPa60（1）斜面上的应力2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx)60sin(30)60cos(2406024060MPa02.9)60cos(30)60sin(24060MPa3.58解、(1)斜面上的应力（2）主应力2yx222xyyx)(maxminMPaMPa3.48,0,3.6832140MPa30MPa602406022)30(24060)(MPa348368..主平面的方位：yxxyotg224060302)(6.0,.4815o48105904815..'o哪个主应力对应于哪一个主方向，可以采用以下方法：40MPa30MPa60MPa60主应力的方向：3主应力的方向：1+MPa30,.515oMPa40+MPa305105.'o作业：刘鸿文，《材料力学》（第五版）7-1;7-2（a）