应力状态及应变状态分析

湘潭大学土木工程与力学学院7.1应力状态的概念7.2应力状态的实例7.3二向应力状态分析——解析法7.4二向应力状态分析——图解法7.5三向应力状态7.7广义虎克定律7.9强度理论的概念7.10常用的四种强度理论湘潭大学土木工程与力学学院7.1应力状态的概述受力构件内任意一点、在不同方位各个截面上的应力情况，称为该点处的应力状态。一点处的应力状态(Introductionofstress-state)湘潭大学土木工程与力学学院(a)123(b)应力状态分析的工具——单元体(element)湘潭大学土木工程与力学学院主平面如果单元体的某个面上只有正应力，而无剪应力，则此平面称为主平面。主应力主平面上的正应力称为主应力。主方向主平面的外法线方向。主单元体若单元体三个相互垂直的面皆为主平面，则这样的单元体称为主单元体。主应力及应力状态的分类湘潭大学土木工程与力学学院这三个主应力分别记为1,2,3，主单元体在主平面上的主应力按代数值的大小排列，1≥2≥3。利用弹性理论可以证明：任意点存在三个互相正交的主应力。湘潭大学土木工程与力学学院单向应力状态（简单应力状态）只有一个主应力不为零(就是拉压时斜截面应力分析)二向应力状态(复杂应力状态)有两个主应力不为零(材料力学研究)三向应力状态(复杂应力状态)三个主应力都不为零(弹性力学研究)应力状态的类型湘潭大学土木工程与力学学院7.2应力状态的实例湘潭大学土木工程与力学学院PPAAAA1.直杆轴向拉伸时的应力状态简单应力状态湘潭大学土木工程与力学学院ATTAA3A45145二向应力状态2.圆轴扭转时，轴的表面上任一点A的应力状态湘潭大学土木工程与力学学院ABCDmmnnplDn42DpPtnt3.圆筒形容器承受内压作用时任一点的应力状态湘潭大学土木工程与力学学院tpDtlNtpDDtDpAP2,442mnpmnlypttDNNd湘潭大学土木工程与力学学院4.在车轮压力作用下，车轮与钢轨接触点A处的应力状态1A12233PA湘潭大学土木工程与力学学院7.2二向应力状态分析——解析法湘潭大学土木工程与力学学院剪应力xy的两个下角标的含义分别为：第一个角标x表示剪应力作用平面的法线方向；第二个角标y则表示剪应力的方向平行于轴y。1.二向应力状态下斜截面上的应力关于应力的符号规定为：正应力以拉应力为正，而压应力为负；剪应力以对单元体内任意点有顺时针转动趋势，规定为正，反之为负。按照上述符号规定，图中x、y和xy皆为正，而yx为负。xyyxxyxyyx湘潭大学土木工程与力学学院对单元体任意斜截面ef上的应力。该截面外法线n与x轴的夹角为。且规定：由x轴转到外法线n为逆时针时，则为正。xyyxxyxyyxxyyxxyyxabcdef湘潭大学土木工程与力学学院d(dcos)sin(dcos)cos(dsin)cos(dsin)sin0xyxyxyAAAAAd(dcos)cos(dcos)sin(dsin)cos(dsin)sin0xyxyyxAAAAA考虑右图的平衡yxyxaefn湘潭大学土木工程与力学学院cos2sin222sin2cos22xyxyxyxyxy上式表明：和都是的函数，即任意斜截面上的正应力和剪应力随截面方位的改变而变化，且其参变量为2。yxyxaefn湘潭大学土木工程与力学学院，即极值对应的角度为，并取与令00ddα02cos2sin200xyyxyxxy22tan0得根据三角学知识，这样的方程有两个相差90°的解0。2.主应力及主平面的方位湘潭大学土木工程与力学学院02200022cos24()2sin2tan2cos24()xyxyxyxyxyxy湘潭大学土木工程与力学学院0xyxyxy2222222222maxmin2224()4()()41()422224()xyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy由上式可见，我们得出了正应力的极值，而且正应力极值条件就是剪应力为零的截面——主平面——所以正应力的极值就是主应力。湘潭大学土木工程与力学学院问题：上述求得的正应力的最大与最小值max,min与主应力1,2,3有什么对应关系呢？如果约定用x表示两个正应力中代数值较大的一个，即xy，上述方程确定的两个角度0中，绝对值较小一个确定max所在的平面。下一节中的图解法对确定主应力与主方向提供了简明的方法。}0,,{Min},0,,{Max0,,minmax3minmax1minmax湘潭大学土木工程与力学学院d()cos22sin2dxyxy3剪应力的极值及其所在平面将斜截面上的剪应力对求导数得湘潭大学土木工程与力学学院xyyx22tan1。和剪应力用着最大和最小在这两个截面上分别作两个互相垂直的截面，，从而可以确定和的三角方程也有两个解这个关于minmax11190假定1对应着剪应力取得极值的截面，则有湘潭大学土木工程与力学学院1222cos2()4xyxyxy11122sin2tan2cos2()4xyxyxy湘潭大学土木工程与力学学院111222222max2222minsin2cos222()()2()4()441()422()4xyαxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy湘潭大学土木工程与力学学院。极值的截面上的正应力应力取得的表达式中，就得到剪代入到和将112sin2cos1112222cos2sin222()()2()4()42xyxyαxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy可见，在剪应力取得极值的截面上，正应力并不为零，而是两个正应力的平均值。湘潭大学土木工程与力学学院主应力所在的平面与剪应力极值所在的平面之间的关系102ctan12tan4,2220101即最大和最小剪应力所在的平面的外法线与主平面的外法线之间的夹角为45°xyyxyxxy22tan,22tan10湘潭大学土木工程与力学学院例题圆轴受扭如图所示，试分析轴表面任一点的应力状态，并讨论试件受扭时的破坏现象。TT湘潭大学土木工程与力学学院解：沿纵横截面截取的单元体为纯剪应力状态，单元体各面上的应力为WTyxxyyx,02sin2sinxyα2cos2cosxyα湘潭大学土木工程与力学学院22minmax22xyyxyxyxxy22tan01354500或其解为正应力的极值为321,0,湘潭大学土木工程与力学学院说明低碳钢试件扭转时的屈服现象是材料沿横截面产生滑移的结果，最后沿横截面断开，这说明低碳钢扭转破坏是横截面上最大剪应力作用的结果即对于低碳钢这种塑性材料来说，其抗剪能力小于抗拉或抗压能力。铸铁试件扭转时，大约沿与轴线成螺旋线断裂，说明是最大拉应力作用的结果。即对于铸铁这种脆性材料，其抗拉能力小于抗剪和抗压能力。湘潭大学土木工程与力学学院湘潭大学土木工程与力学学院例题如图所示，简支梁在跨中受集中力作用，m-m截面点1至点5沿纵横截面截取的单元体各面上的应力方向如图（b）所示，若已知点2各面的应力情况如图（c）所示。试求点2的主应力的大小及主平面的方位。湘潭大学土木工程与力学学院湘潭大学土木工程与力学学院解：由于垂直方向等于零的正应力是代数值较大的正应力，所以选定x轴的方向垂直向上。此时MPa50MPa70,0xyyx429.170050222tan0yxxy得5.1175.270或湘潭大学土木工程与力学学院由于xy，所以绝对值较小的角度0=27.5°的主平面上有最大的主应力MPa96MPa26502700270022minmaxMPa96,0,MPa26321湘潭大学土木工程与力学学院7.4二向应力状态分析——图解法湘潭大学土木工程与力学学院2cos2sin22sin2cos22xyyxαxyyxyxα消除上述参数2，得一在-坐标系下的圆方程1.应力圆方程及其作法由解析法湘潭大学土木工程与力学学院222222xyxyxy2xy2yxyxα202，半径为，圆心湘潭大学土木工程与力学学院选取x方向的应力为D(x,xy)，y方向的应力为D(y,yx)，这样在-坐标系中得到两点。连接这两点，它与轴交于C点，以C为圆心，以DD´为直径作圆，此圆即为该单元体对应的应力圆，也称Mohr圆。具体作图方法是湘潭大学土木工程与力学学院xyxyxyn1DDyyxBxxyA02EF2C1G2G31BO湘潭大学土木工程与力学学院2.利用应力圆确定主应力、主平面和最大剪应力确定主应力确定剪应力极值确定主平面确定剪应力极值所在的平面1DDyyxBxxyA02EF2C1G2G31BO湘潭大学土木工程与力学学院例题已知单元体的应力状态如示。已知试用图解法求主应力，并确定主平面的位置。MPa50MPa,60MPa,40xyyxbcadyyxx湘潭大学土木工程与力学学院0,1050,60,50,40CbDD。其中。作图如图解：比例尺040bcadyyxx5.2231nOC135451A1BDD湘潭大学土木工程与力学学院250505022圆半径长度为MPa102500MPa10250321MPa250MPa250minmaxCD点与σ轴的夹角(也就是最大主应力对应平面的法向与x轴之间的夹角)为5.22,12tan00OC135451A1BDD50,400,1050,60湘潭大学土木工程与力学学院同样有最小主应力与x轴之间的夹角为5.112900而最大剪应力(与E点对应)与x轴之间的夹角为5.6721351而最小剪应力(与F点对应)与x轴之间的夹角为5.157905.671OC135451A1BDD50,400,1050,60湘潭大学土木工程与力学学院另外，与最大剪应力对应的截面上，其正应力为2yxOC135451A1BDD50,400,1050,60这与解析法的结果相同。湘潭大学土木工程与力学学院DODC特殊应力状态1.轴向拉伸只有一个主应力不为零(其应力圆必与轴相切)湘潭大学土木工程与力学学院DO1A