高中数学经典解题技巧和方法：平面向量

高中数学经典解题技巧：平面向量一、向量的有关概念及运算解题技巧：向量的有关概念及运算要注意以下几点：（1）正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念，如有遗漏，则会出现错误。（2）正确理解平面向量的运算律，一定要牢固掌握、理解深刻（3）用已知向量表示另外一些向量，是用向量解题的基础，除了用向量的加减法、实数与向量乘积外，还要充分利用平面几何的一些定理，充分联系其他知识。例1：（2010·山东高考理科·Ｔ12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=(m,n)，bp,q)（，令a⊙bmqnp，下面说法错误的是（）A.若a与b共线，则a⊙b0B.a⊙bb⊙aC.对任意的R，有()a⊙b(a⊙)bD.(a⊙b)2222()abab【命题立意】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力.【思路点拨】根据所给定义逐个验证.【规范解答】选B，若a与b共线，则有a⊙b0mqnp，故A正确；因为b⊙apnqm,，而a⊙bmqnp，所以有a⊙bb⊙a，故选项B错误，故选B.【方法技巧】自定义型信息题1、基本特点：该类问题的特点是背景新颖，信息量大，是近几年高考的热点题型.2、基本对策：解答这类问题时，要通过联想类比，仔细分析题目中所提供的命题，找出其中的相似性和一致性二、与平面向量数量积有关的问题解题技巧：与平面向量数量积有关的问题1．解决垂直问题：121200,ababxxyyab其中、均为非零向量。这一条件不能忽视。2．求长度问题：2||aaa，特别地2211221212(,),(,),||()()AxyBxyABxxyy则。3．求夹角问题：求两非零向量夹角的依据121222221122cos(,).||||xxyyabababxyxy例2：1.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）在RtABC中，C=90°AC=4，则ABACuuuruuur等于（）A、-16B、-8C、8D、16【命题立意】以直角三角形为依托，考查平面向量的数量积，基底的选择和平面向量基本定理.【思路点拨】由于C=90，因此选向量CA，CB为基底.【规范解答】选D.ABACuuuruuur=(CB-CA)·(-CA)=-CB·CA+CA2=16.【方法技巧】平面向量的考查常常有两条路：一是考查加减法，平行四边形法则和三角形法则，平面向量共线定理.二是考查数量积，平面向量基本定理，考查垂直，夹角和距离（长度）.2.（2010·广东高考文科·Ｔ5）若向量a=(1,1)，b=(2，5)，c=(3，x)满足条件(8a—b)·c=30，则x=()A．6B．5C．4D．3【命题立意】本题考察向量的坐标运算及向量的数量积运算.【思路点拨】先算出8ab，再由向量的数量积列出方程，从而求出.x【规范解答】选C.8ab8(1,1)(2,5)(6,3)，所以(8)(6,3)(3,)abcx30.即：18330x，解得：4x，故选C.三、向量与三角函数的综合例3．在直角坐标系)..20)(,sin(),0,8(),2,1(,RattkBAxOy又点已知向量中（I）若OBABOAAB求向量且|,|||,a；（II）若向量a与向量AB共线，当.,4sin,4OBOAtk求时取最大值为且【解析】（1）028sin,),,8sin(tkABtkABa…………2分又22)8sin(64|,|||tkABOA解得4016540165sinsin55,858555kktt或………………4分4016585(,)55OB或4016585(,)55OB…………6分（II）16sin2,ktAB共线与向量a………………8分kkkkt32)4(sin2sin)16sin2(sin2ktkkk32sin,4sin,140,4取最大值为时又…………10分)8,4(,6,8,432OBkk此时得由(8,0)(4,8)32OAOB………………12分注：向量与三角函数的综合，实质上是借助向量的工具性。（1）解决这类问题的基本思路方法是将向量转化为代数运算；（2）常用到向量的数乘、向量的代数运算，以及数形结合的思路。例4．（2010·重庆高考理科·Ｔ2）已知向量a，b满足0,1,2abab，则2ab（）A．0B．22C．4D．8【命题立意】本小题考查向量的基础知识、数量积的运算及性质，考查向量运算的几何意义，考查数形结合的思想方法.【思路点拨】根据公式2aa进行计算，或数形结合法，根据向量的三角形法则、平行四边形法则求解.【规范解答】选B（方法一）222242ababaabb2()40422；（方法二）数形结合法：由条件0ab知，以向量a，b为邻边的平行四边形为矩形，又因为1,2ab，所以2=2a，则2ab是边长为2的正方形的一条对角线确定的向量，其长度为22，如图所示.【方法技巧】方法一：灵活应用公式2aa，方法二：熟记向量0abab及向量和的三角形法则例5．（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ8）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若CB=a,CA=b,1,2ab，则CD=（）（A）13a+23b（B）23a+13b（C）35a+45b（D）45a+35b【命题立意】本题考查了平面向量基本定理及三角形法则的知识。【思路点拨】运用平面向量三角形法则解决。由角平分线性质知DB:AD=CB:CA=1:2这样可以用向量a,b表示CD。【规范解答】选B，由题意得AD:DB=AC；CB=2:1,AD=32AB,所以CDCA+ADb+23ABa+13b【方法技巧】角平分线性质、平面向量基本定理及三角形法则例6．（2010·浙江高考文科·Ｔ13）已知平面向量,,1,2,(2),则2的值是。【命题立意】本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，属中档题。【思路点拨】本题先把垂直关系转化为数量积为0，再利用向量求模公式求解。【规范解答】由题意可知-20，结合2214，，解得12，所以22=224442410，开方可知答案为10.【答案】10【方法技巧】（1）0abab；（2）||aaa。