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数系的扩充姜堰市第二中学黄萍苏教版选修1—2第3章3.11、教学目标：（1）经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求；（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；2、教学重点、难点：（1）重点：体会数的概念的发展和数系扩充的过程，从中感受实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，并认识数系扩充的原则；（2）难点：认识到实数系向复数系扩充的必要性，并掌握如何将实数系扩充到复数系，从而掌握复数的相关概念。3、教学方法与教学手段：创设情境、启发引导4、教学过程设计：一、人类对数的认识过程的回顾先回顾数的发展史（到实数为止），即教材中的“为了计数的需要产生了自然数，为了测量等需要产生了分数，不了刻画具有相反意义的量产生了负数，为了解决度量正方形对角线的长的问题产生了无理数，等等”。紧接着介绍数学史上16世纪意大利数学家卡尔丹在其著作《大术》一书中提出的这样一个问题“将10分为两部分，使得两部分之积为40”。他将其中一部分设为x,另一部分则为10-x，于是得到方程x(10-x)=40，请学生解一下这个方程（学生：无解）。为什么无解？（△0）问题1：什么叫方程无解？回顾关于方程解的问题：方程x+1=0,对于一个不知道负数的小学生而言有解吗？方程2x=3，对于一个不知道分数的小学生而言有解吗？方程x2=2,对于一个不知道无理数的初一学生而言有解吗？问题2:方程是否有解与什么相关?（通过上述问题的研究,让学生感受方程是否有解与人的认识程度有关,同时与数集有关。随着人的认识程度的深入以及数集的扩充，在原来数集中无解的方程到了新的数集中也可以变得有解。）方程x(10-x)=40是在什么范围类无解?(实数集)问题3：有没有必要将实数集扩充，使得此类方程在新的数集中变得有解？再回到数学史，1572年意大利工程师邦贝利(RafaelBombelli)的著作《代数学》一书中，邦贝利研究卡尔丹《大术》中另一个方程x3-15x-4=0的时，利用一元三次方程求根公式求得了它的两个根32，而另外一个根写成了这样的形式：3312121212，邦贝利同时发现，这个三次方程显然有一个解x=4，这说明应该有41112111233，由此说明负数开平方应该得到承认，实数集有必要扩充！问题4：怎样将实数集进行扩充，使得x2=-1之类方程在新的数集中有解呢？点明课题问题5：怎样进行数系的扩充？(通过上述过程是为了让学生体验到人类的认识过程是一个从简单到复杂、从低级到高级的过程，数的发展是为了满足人们生产生活的需要，也是为了解决因研究探索而形成的认知冲突。在数学文化背景下设计的问题串，是为了让学生充分地感受到实数集扩充的必要性，并感受在面对用理性思维进行研究探索而形成的认知冲突时，要有科学精神，要以理性精神、发展的观点认识新问题，发展新观念。)二、数学学科内部数的扩充过程的回顾再回顾数学学科中数的扩充过程，即教材中“在自然数集中，加法和乘法总可以实施，但是由于小数不能减大数，方程x+4=0无解，为此引入负数，数集扩大到整数集。在整数集中，加法、减法、乘法总可以实施，但由于除法只能解决整除的问题，方程3x-2=0无解，为此引入分数，数集扩大到有理数集。在有理数集中，加法、减法、乘法和除法（除数不为0）总可以实施，但是开方的结果可能不是有理数，方程x2-2=0无解，为此引入无理数，数集扩大到实数集。在实数集中。加、减、乘、除（除数不为0）总可以实施，并解决了正数开平方的问题”。（其中重点以有理数集向实数集扩充为例，让学生感受数集扩充的过程和数集扩充遵循的原则，从而为实数集向复数集扩充做好铺垫。）三、实数系向复数系扩充问题6：按照数集扩充的原则，对实数集进行扩充，并要使得方程x2=-1有解，至少应该在新数集中添加怎样的一个数？问题7：有了i，新的数集中还会有什么数？问题8：这些数有什么一般形式？在归纳前有的数系扩充过程的基础上，实现实数系向复数系的扩充，进而掌握复数的概念以及相关的一些概念（如虚数单位、复数的实部与虚部、复数集）。（同样在问题串的带领下，在有理数集向实数集扩充过程的铺垫下，让学生自然地、自主地实现实数系向复数系的扩充，这是本节课的重点之一）四、概念的巩固例1：写出复数4，2-3i,0,6i的实部与虚部。解：上述复数的实部分别是4，2，0，21，5，0；虚部分别是0，-3，0，34，2，6。指出：a+bi(a∈R,b∈R)的虚部是b,而不是bi五、复数的分类问题9：复数集有没有包含所有的实数？问题10：复数集比实数集多了哪种类型的数？引出复数的分类，并用文氏图直观地表示出几个数集之间的关系。（在例题1几个复数直观展示下，提出问题9、问题10，很容易让学生对复数进行分类，并进一步感知了几个数集之间的关系。用例1进行巩固。）例1：指出复数4，2-3i,0,6i中的实数、虚数及纯虚数。解：4，0是实数；2-3i，6i是虚数其中6i是纯虚数。,3421i,25i,3421i,25i,3421i,25i例2：实数m取什么值时，复数Z=m(m-1)+(m-1)i是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？分析：由m∈R可知(m-1)，m(m-1)都是实数，根据复数a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以分别确定m的值。解：（1）当m-1=0,即m=1时，复数z是实数。（2）当m-1≠0,即m≠1时，复数z是虚数。（3）当m(m-1)=0，且m-1≠0，即m=0时，复数z是纯虚数。变：(4)z=0(5)z=6+2i(由例题2的两个变，自然地过渡到两个复数相等的条件)六、两个复数相等的条件由例题2两个变的思考，提出复数相等的充要条件，并用例题3巩固。例3：已知(x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i，求实数x,y的值。解：根据两个复数相等的充要条件，可得x+y=2x-5，x-2y=3x+y；解得：x=3,y=-2。七、小结请学生自我小结后，回到邦贝利求得的三次方程的第三个根3312121212，介绍邦贝利根据一定的运算法则算得3)2(1121212ii、3)2(1121212ii，并由此推得4)2()2(1212121233ii（回到实数集需要扩充的起点，说明了实数集扩充成复数集后，解决了认知上的冲突，证实了扩充的合理性，并为下一结课研究复数的运算埋下了伏笔）八、作业：（1）阅读材料（2）P59：练习：1、2、3、4（阅读材料旨在让学生进一步了解复数的历史、价值和意义，并再次感受要以科学的精神、理性的思维以及发展的观点来认识新问题、发展新观念。习题是为了让学生巩固本节课所学）