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快乐学习、健康成长、学而优择校学而优教育小营路：81231359学而优教育2007-4-127．见图。把11、12、13、14、15、16、17七个数填入右图的圆圈中，使横行、竖行的圆圈中的每三个数之和都是42。8．见图。把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11这十一个数，分别填入图中空格内，使相邻的两个或三个空格内的和等于①14、②15。9．把1、2、3、4、5、6、7、8、9各数分别填入“七一”图形中的九个空格内，使每一横行、竖行的四个、三个或两个空格中的数相加之和都等于13。（见下图）10．见下图。把1、2、3、4、5、6、7各数填入“十一”图形中的七个空格里，使每一横行、竖行的三个或两个空格中的数相加之和都是10。习题解答1．解：见图。找关键数先填。三个大圆相交处的小圆圈中的数是关键数。仔细观察。图中一个大圆上已有9和7两个数，所以快乐学习、健康成长、学而优择校学而优教育小营路：81231359学而优教育2007-4-12这个大圆上A，B两个小圆圈（如图示）所填的两数之和应为29-（9+7）=13。把13分拆成两数之和（注意要选用题中已给的数）只有11+2和8+5两种分拆方式可供选用；经试验可知8和5这组数不合用，只能选用11和2这组数。最后可确定将11填入三个大圆相交处的A圈中。接着可较容易地填上其他数了。2．解：见图。由中间的大圆圈上的三个已知数1，5，8，可求出这个大圆上的最后一个数：24-（1+5+8）=10，这样还剩下2、3、4、6、7、11六个数未被选用。应把它们分别填入六个小圆圈。仔细观察可知：另外的两个大圆相交处的小圆圈（B圈）中的数是关键数。而且有一个大圆上已经给出了数9，所以该大圆上其余三个小圆圈所填数之和应为24-9=15。因而将15分拆成三个数之和（注意必须选用题中所给的数）15=7+6+2经尝试B圈中只能填6。然后再确定左边大圆上三个小圆圈应填的数是11、4和3。3．解：见下图，解题思路与例3相同，略写如下：2+3+4+5+6=20。①11+11-20=2即中间格填2。快乐学习、健康成长、学而优择校学而优教育小营路：81231359学而优教育2007-4-12②12+12-20=4即中间格填4。③13+13-20=6即中间格填6。4．解：见图解题思路与例4相同，略写如下：21+21+21=635+6+7+8+9+10=4563-45=18（三个角上的三个数之和）分拆18=5+6+7即三个角上的三个圆圈里应填5、6、7。5．解：见图，找关键数先填，不难看出，标有字母A和B的两圆圈中的数是关键数，因为它们是正方形公用的数，解法：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=5524+24+24=7272-55=17快乐学习、健康成长、学而优择校学而优教育小营路：81231359学而优教育2007-4-1217=10+7=9+8（这就是两组关键数10和7，以及9和8）。6．解：见图，找关键数先填。不难看出，中间圆圈里的数是关键数。求关键数：1+2+3+4+5+6+7=2812+12+12=3636-28=8（相当两个中间圆圈里的数之和）8÷2=4（就是一个中间圆圈里的数）12-4=8行三个数之和他是12。7．解：先求关键数：横行和竖行公用的两个圆圈的数是关键数。11+12+13+14+15+16+17=9842+42+42=126126-98=28（28是横行和竖行公用的两个圆圈里的数的和）将28分拆：（见下面三个图）。快乐学习、健康成长、学而优择校学而优教育小营路：81231359学而优教育2007-4-128．解：先求关键数。六字的“点”和“横”公用的方格中的数是关键数。方法1：14×5=701+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66公用的方格中的数是70-66=4再适当选择其他的数填入其他空格。方法2：见下图15×5=7575-66=9公用的方格中填9，再适当选择其他各数填入方格。9．解：见下图，求关键数即共用方格中的数1+2+3+4+5+6+7+8+9=4513×4=5252-45=7快乐学习、健康成长、学而优择校学而优教育小营路：81231359学而优教育2007-4-1210．解：见下图，先确定“十”字中间方格中的数1+2+3+4+5+6+7=2810×3=3030-28=2（中间方格中的数）。经典例题：本讲主要介绍在填图与拆数中找关键数的思考方法。1如右图所示。把三个1、三个2、三个3分别填在九个格内，使横行、竖行、斜行三个数加起来的和都等于6。解：找关键数先填。因为中间格的数和横行、竖行、斜行都有关，所以它是关键数，确定了它，其他各格就容易填了。快乐学习、健康成长、学而优择校学而优教育小营路：81231359学而优教育2007-4-12（1）尝试法：若中间填“1”，再填其他格，如右图。结果有一条斜线上的数都是1，其和为3，不合题目要求。若中间格填“3”，再填其他格，如右图结果有一条斜行上的数都是3，其和为9，不合题目要求。若中间格填“2”，再填其他格，经检查，符合题目要求，如图。（2）分析法：显然在每一横行、竖行和斜行只能填一个“1”或一个“3”。因为若填两个1后，即使再填一个最大的3，这一行的这三个数之和才是5，小于6，不符合题目要求；同样，若填两个3后，即使再填一个最小的数1，这一行的三个数之和就是7，大于6，也不符合题目要求。如果在一行里填入两个“2”，即使在此行里再填一个2，这一行的三个数之和也可等于6，符合题要求。由此得出，中间方格必须填“2”。中间方格填好之后其他各格中的数也就容易填出了。2如图。把1、2、3、4、5填入右图的圆圈中，使每条斜线上的三个数相加之和都是8。快乐学习、健康成长、学而优择校学而优教育小营路：81231359学而优教育2007-4-12解：中间圆圈里的数是个关键数，应该首先确定它。如何确定它呢？这样想：假如我们已经按题目要求把1、2、3、4、5填入了五个圆圈中，这样每条斜线上的三个数相加都得8。那么当我们把两条斜线上的数都加起来，它们的和应为8+8=16，但是五个圆圈中所填数之和应为1+2+3+4+5=15，两个和数之差是1，即：16-15=1。这个差是如何产生的呢？这是因为把两条斜线上的和数相加时，中间圆圈中的数被加了两次，即多加了一次。把一个数多加了一次和就多了1，可见此数是1。然后，再求每条斜线两端的数。可求出两数之和应为8-1=7把7分拆成两个数，有两种分拆方式：把2和5填入一条斜线两端的圆圈中。把3和4填入另一条斜线两端的圆圈中。3如图所示。把1、2、3、4、5、6、7七个数填在右图中的七个圆圈里，每个数只能用一次，使每条线上的三个数相加之和都等于12。解：见图。中间圆圈里的数是关键数，应该如何确定它呢？快乐学习、健康成长、学而优择校学而优教育小营路：81231359学而优教育2007-4-12与例2的想法类似。假设已经按题目要求把数全部填入了圆圈，那么每条线上的三个圆圈中的数相加应该都得12。我们如果进一步把三条直线上的数都加起来，得数应为：12+12+12=36。不难看出，这样就把中间圆圈里那个数加了三次。因而它比七个圆圈中的数相加之和：1+2+3+4+5+6+7=28多了36-28=8也就是8应是中间圆圈里的数的2倍所以中间圆圈里的数应是8的一半，即8÷2=4下面再确定每条线上另外的两个圆圈里的数，方法如下：12-4=84如图所示。把1、2、3、4、5、6六个数分别填入右图的圆圈里，使三角形每条边上三个数之和都等于9。快乐学习、健康成长、学而优择校学而优教育小营路：81231359学而优教育2007-4-12解：见图。三个角上圆圈里的数是关键数，因为它们中的每个都是两条边上共有的数。先确定关键数。这样想：六个数之和是1+2+3+4+5+6=21每条边上三个数之和是9，9+9+9=27这样算每个角上圆圈里的数都被加了两次，因此角上三个圆圈中的数之和是27-21=6把6分拆成三个数之和：6=1+2+3；把1、2、3分别填入三个角上的圆圈里，其余的圆圈里的数就容易填了。