椭圆、双曲线、抛物线综合测试题

椭圆、双曲线、抛物线综合测试题一选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1设双曲线2212yxm的一个焦点为(0,2)，则双曲线的离心率为().A2B2C6D222椭圆221167xy的左、右焦点分别为12,FF，一直线经过1F交椭圆于A、B两点，则2ABF的周长为（）A32B16C8D43两个正数a、b的等差中项是52，等比中项是6，则椭圆22221xyab的离心率为（）A32B133C53D134设1F、2F是双曲线22124yx的两个焦点，P是双曲线上的一点，且31||PF=42||PF，则12PFF的面积为（）A42B83C24D485P是双曲线22916xy=1的右支上一点，M、N分别是圆22(5)1xy和22(5)xy=4上的点，则||||PMPN的最大值为（）A6B7C8D96已知抛物线24xy上的动点P在x轴上的射影为点M，点(3,2)A，则||||PAPM的最小值为（）A101B102C101D1027一动圆与两圆221xy和228120xyx都外切，则动圆圆心的轨迹为（）A圆B椭圆C双曲线D抛物线8若双曲线22221(0,0)xyabab的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（）A2B3C5D29抛物线2yx上到直线20xy距离最近的点的坐标（）A35,24B(1,1)C39,24D(2,4)10已知c是椭圆22221xyab(0)ab的半焦距，则bca的取值范围（）A(1,)B(2,)C(1,2)D(1,2]11方程2mxny0与22mxny1(0,0,)mnmn表示的曲线在同一坐标系中图象可能是（）12若AB是抛物线22(0)ypxp的动弦，且||(2)ABaap，则AB的中点M到y轴的最近距离是（）A12aB12pC1122apD12a－12p二填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填写在题中横线上）13设1F、2F分别是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且12FPF=60o，12PFFS=123，离心率为2，则双曲线方程的标准方程为．14已知椭圆221xymn与双曲线221xypq(,,,,)mnpqRmn，有共同的焦点1F、2F，点P是双曲线与椭圆的一个交点，则12||||PFPF=．15已知抛物线22(0)xpyp上一点A(0,4)到其焦点的距离为174，则p=．16已知双曲线2222xya=12a的两条渐近线的夹角为3，则双曲线的离心率为．三解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）求适合下列条件的双曲线的标准方程：yxoByxoCyxoDyxoA⑴焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为54；⑵顶点间的距离为6，渐近线方程为32yx.18．（12分）在平面直角坐标系中，已知两点(3,0)A及(3,0)B．动点Q到点A的距离为10，线段BQ的垂直平分线交AQ于点P．⑴求||||PAPB的值；⑵写出点P的轨迹方程．19．（12分）设椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1F、2F，过右焦点2F且与x轴垂直的直线l与椭圆相交，其中一个交点为(2,1)M．⑴求椭圆的方程；⑵设椭圆的一个顶点为(0,)Bb，直线2BF交椭圆于另一点N，求1FBN的面积．20．（12分）已知抛物线方程24xy，过点(,4)Pt作抛物线的两条切线PA、PB，切点为A、B．⑴求证：直线AB过定点(0,4)；⑵求OAB（O为坐标原点）面积的最小值．21．（12分）已知双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为1F、2F，点P在双曲线的右支上，且1||PF=3|2|PF．⑴求双曲线离心率e的取值范围，并写出e取得最大值时，双曲线的渐近线方程；⑵若点P的坐标为43(10,10)55，且12PFPF=0，求双曲线方程．22．（12分）已知O为坐标原点，点F、T、M、1P满足OF=(1,0)，(1,)OTt，FMMT，1PM⊥FT，1PT∥OF．⑴求当t变化时，点1P的轨迹方程；⑵若2P是轨迹上不同于1P的另一点，且存在非零实数使得12FPFP，求证：1211||||FPFP=1.参考答案1A提示：根据题意得222cab=2m=4，∴m=2，∴222cabeaa=222112ba=2．故选A．2B提示：2ABF的周长=12||||AFAF+12||||BFBF=4a=16.故选B．3C提示：根据题意得56abab，解得a3，b2，∴c=5，∴cea=53．4C提示：∵P是双曲线上的一点，且31||PF=42||PF，1||PF－2||PF=2，解得1||PF=8，2||PF=6，又12||FF=2c=10，∴12PFF是直角三角形，12PFFS=1862=24.故选C．5D提示：由于两圆心恰为双曲线的焦点，||PM1||PF+1，||PN2||PF2，∴||||PMPN≤1||PF+1—（2||PF2）=1||PF—2||PF+3=2a+3=9.6A提示：设d为点P到准线1y的距离，F为抛物线的焦点，由抛物线的定义及数形结合得，||||PAPM=d－1+||PA=||PA+||PF－1≥||AF－1=101．故选A．7C提示：设圆221xy的圆心为(0,0)O，半径为1，圆228120xyx的圆心为1(4,0)O，O为动圆的圆心，r为动圆的半径，则1||||OOOO=(2)(1)rr=1，所以根据双曲线的定义可知．故选C．xyPMNOF1F22题图8C提示：设其中一个焦点为(,0)Fc，一条渐近线方程为byxa，根据题意得2||1bcaba=2a，化简得2ba，∴eca=222aba=21ba=14=5．故选C．9B提示：设2(,)Pxx为抛物线2yx上任意一点，则点P到直线的距离为2|24|5xxd=2|(1)3|5x，∴当1x时，距离最小，即点P(1,1)．故选B．10D提示：由于22222bcbcbcaa≤22222bcbca=2，则bca≤2，又bca，则bca＞1.故选D．11C提示：椭圆与抛物线开口向左．12D提示：设11(,)Axy，22(,)Bxy，结合抛物线的定义和相关性质，则AB的中点M到y轴的距离为122xx=||||222ppAFBF=||||2AFBFp，显然当AB过焦点时，其值最小，即为12a－12p．故选D．二填空题13221412xy提示：设双曲线方程为22221xyab，∵2cea，∴2ca．∵12PFFS=123，∴1||PF×2||PF=48.22c21||PF+22||PF-21||PF2||PF12cosFPF，解得216c，∴2a=4，2b=12.14mp提示：根据题意得1212||||2||||2PFPFmPFPFp，解得1||PFmp，2||PFmp．∴12||||PFPF=mp．1512提示：利用抛物线的定义可知4()2p=174，p=12．16233提示：根据题意得233a，6a，∴22c，∴cea233．三解答题17解：⑴因为焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为22221(0,0)xyabab，∴22221254abcbca，解得8a，6b，10c，∴双曲线的标准方程为2216436xy．⑵设以32yx为渐近线的双曲线的标准方程为2249xy，①当0时，24=6，解得94，此时所求的双曲线的标准方程为2218194xy；②当0时，29=6，解得1，此时所求的双曲线的标准方程为22194yx．18解：⑴因为线段BQ的垂直平分线交AQ于点P，∴||PB=||PQ，∴||||PAPB=||PA+||PQ=||AQ=10；⑵由⑴知||||PAPB=10（常数），又||||PAPB=10＞6=||AB，∴点P的轨迹是中心在原点，以,AB为焦点，长轴在x轴上的椭圆，其中210,26ac，所以椭圆的轨迹方程为2212516xy．19解：⑴∵l⊥x轴，∴2(2,0)F，根据题意得22222112abab，解得2242ab，∴所求椭圆的方程为：22142xy．⑵由⑴可知(0,2)B，∴直线2BF的方程为2yx，∴222142yxxy，解得点N的纵坐标为23，∴1FBNS=12FFNS12FBFS=12(2)2223=83．20解：⑴设切点11(,)Axy，22(,)Bxy，又12yx，则切线PA的方程为：1111()2yyxxx，即1112yxxy；切线PB的方程为：2221()2yyxxx，即2212yxxy，又因为点(,4)Pt是切线PA、PB的交点，∴11142xty，22142xty，∴过A、B两点的直线方程为142txy，即1402txy，∴直线AB过定点(0,4)．⑵由214024txyxy，解得2216xtx=0，∴122xxt，1216xx．∴OABS=1214||2xx=221212()4xxxx=2464t≥16.当且仅当0t时，OAB（O为坐标原点）面积的最小值21解：⑴∵1||PF－2||PF=2a，1||PF=3|2|PF，∴1||PF=3a，2||PF=a，由题意得1||PF+2||PF≥12||FF，∴4a≥2c，∴ca≤2，又因为1e，∴双曲线离心率e的取值范围为(1,2]．故双曲线离心率的最大值为2.⑵∵12PFPF=0，∴21||PF+22||PF=24c，即22104ac，即2232ba，又因为点P43(10,10)55在双曲线上，∴22160902525ab=1，∴2216060aa=1，解得24a，26b，∴所求双曲线方程为；2222xyab=1.22解⑴设1P(,)xy，则由FMMT得点M是线段FT中点，∴(0,)2tM，则1PM=(,)2txy，又因为FT=(2,)t，1PT=(1,)xty，∵1PM⊥FT，∴2()02txty，①∵1PT∥OF，∴(1)0()1xty=0，即ty②由①和②消去参数得24yx．⑵证明：易知(1,0)F是抛物线24yx的焦点，由12FPFP，得F、1P、2P三点共线，即1P2P为过焦点F的弦．①当1P2P垂直于x轴时，结论显然成立；②当1P2P不垂直于x轴时，设111(,)Pxy，222(,)Pxy，直线1P2P的方程为(1)ykx，∴24ykxkyx，整理得22222(2)0kxkxk，∴12xx2224kk，12xx1，∴1211||||FPFP=121111xx=1212122()1xxxxxx=1.