线性空间与线性变换(精)

第七章线性空间与线性变换§1线性空间定义与性质定义设V为非空集合，P为一数域（对四则运算封闭的数集合）。V中有两种运算①“加法”：任意α，β∈V,唯一确定γ=α+β∈V；②“数乘”：任意α∈V及任意k∈P,唯一确定δ=kα∈V.且满足以下8条运算律：1.α+β=β+α；2.(α+β)+γ=α+(β+γ);3.V中存在零元素0，使α+0=0+α=α；4.任意α∈V，存在其负元素-α∈V，使α+(-α)=0；5.1α=α;6.任意k,l∈P,(kl)α=k(lα)=l(kα);7.k(α+β)=kα+kβ；8.(k+l)α=kα+lα.则称V为数域P上的线性空间.第七章线性空间与线性变换§1线性空间定义与性质(续1)例1Rn对向量的加法和数乘构成R上的线性空间。向量空间必为线性空间。线性空间为向量空间的抽象，线性空间中的元素也称为“向量”。例2P[x]n={f(x)=a0+a1x+…+an-1xn-1|ai∈P}(次数小于n的多项式全体)对多项式的加法和数乘构成P上的线性空间。n次多项式全体不是线性空间例3Pm×n={A=[aij]m×n|aij∈P}对矩阵的加法和数乘构成P上的线性空间第七章线性空间与线性变换§1线性空间定义与性质(续2)例4设R+={全体正实数}。对任意a,b∈R+，定义1.加法：ab=ab;2.数乘:k⊙a=ak.问：R+是否是R上的线性空间？第七章线性空间与线性变换§1线性空间定义与性质(续3)线性空间线性空间的性质：1、零元素唯一；2、任意元素的负元素唯一；3、0α=0；4、若kα=0,则k=0或α=0.第七章线性空间与线性变换§1线性空间定义与性质(续4)定义：设W为线性空间V的非空子集，若W对V的加法、数乘也构成线性空间，则称W为V的（线性）子空间。定理1线性空间V的非空子集W为V的子空间的充要条件为W对V的加法、数乘封闭.如{0}、V均为V的子空间，叫作V的平凡子空间.又如11121222...0...............00...nnijnnaaaaaWaPa为Pn×n的子空间.第七章线性空间与线性变换§2基、维数、坐标向量空间的理论可平行移到线性空间中来.如线性组合、线性表示、线性相关、最大无关组、秩等.又1.α1,α2,…,αm线性相关的充要条件为：存在不全为零的数k1,k2,…,km,使k1α1+k2α2+…+kmαm=0；2.向量组A可由向量组B线性表示，则rA≤rB；线性无关的充要条件为：k1α1+k2α2+…+kmαm=0时ki必全为零；3.设α1,α2,…,αm线性无关，而α1,α2,…,αm，b线性相关，则b可由α1,α2,...,αm唯一地线性表示.第七章线性空间与线性变换§2基、维数、坐标（续1）定义设V为数域P上的线性空间，V中向量α1,α2,...,αr满足：称k1,k2,...,kr为α在基α1,α2,...,αr下的坐标.1)α1,α2,...,αr线性无关；α=k1α1+k2α2+...+krαr2)V中任意向量α均可由α1,α2,...,αr线性表示：则称α1,α2,...,αr为V的一组基，称V为r维线性空间（dimV=r）.1212(,,...,)...rrkkk第七章线性空间与线性变换§2基、维数、坐标（续2）例1求P[x]n（次数小于n的多项式全体）的一组基与维数.解：1,x,x2,…,xn-1线性无关，(当k0+k1x+k2x2+…+kn-1xn-1=0时，ki必全为0）又对任意f(x)=a0+a1x+a2x2+…+an-1xn-1∈P[x]n,显然f(x)可由1,x,x2,…,xn-1线性表示，∴1,x,x2,…,xn-1为P[x]n的一组基，dimP[x]n=n.第七章线性空间与线性变换§2基、维数、坐标（续3）解：设Eij∈Pm×n，且其第i行第j列元素aij=1，其余元素均为0，则Eij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)线性无关，例2求Pm×n={A=[aij]m×n|aij∈P}的一组基与维数.又对任意A=[aij]m×n∈Pm×n,A可由Eij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)线性表示:∴Eij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)为Pm×n的一组基，11mnijijijAaEdimPm×n=m×n第七章线性空间与线性变换§2基、维数、坐标（续4）设α1,α2,...,αr为线性空间V的一组基,则V=L(α1,α2,...,αr)={k1α1+k2α2+...+krαr|ki∈P}第七章线性空间与线性变换§2基、维数、坐标（续5）2;21;1.cbcabc例3P[x]3中，求f(x)=2x2-x+1在基Ⅰ:1,x,x2与基Ⅱ:1,x+1,(x+1)2下的坐标.解：f(x)在基Ⅰ下的坐标为1，-1，2；设f(x)=a+b(x+1)+c(x+1)2,则f(x)=a+b+c+(b+2c)x+cx2∴f(x)在基Ⅱ下的坐标为:4,-5,2.2;5;4.cba第七章线性空间与线性变换§3基变换与坐标变换11112121212122221122.....................nnnnnnnnnnaaaaaaaaa定义：设Ⅰ：ξ1，ξ2，…，ξn及Ⅱ：η1,η2,…,ηn为线性空间Vn的两组基，且有基变换公式：记作：称A=[aij]n×n为从基Ⅰ到基Ⅱ的过渡阵.1112121222121212......(,,...,)(,,...,)...............nnnnnnnnaaaaaaaaa第七章线性空间与线性变换§3基变换与坐标变换（续1）12..nxxXx定理2设A为从基Ⅰ：ξ1，ξ2，…，ξn到基Ⅱ：η1,η2,…,ηn的过渡阵，则（1）A可逆,且从基Ⅱ到基Ⅰ的过渡阵为A-1；（2）若向量α在两组基下的坐标分别为及X=AY(Y=A-1X)12...nyyYy则第七章线性空间与线性变换§4子空间的维数与基维数公式定理3设Ⅰ：ξ1，ξ2，…，ξt与Ⅱ：η1,η2,…,ηs是线性空间V中的两个向量组，则（1）L(ξ1，ξ2，…，ξt)=L(η1,η2,…,ηs)的充要条件为：组Ⅰ与组Ⅱ等价；（2）dimL(ξ1，ξ2，…，ξt)=rⅠ.第七章线性空间与线性变换§4子空间的维数与基维数公式（续1）定义设W1，W2是线性空间V的两个子空间，则V的子集W1∩W2={α|α∈W1且α∈W2}，W1+W2={α1+α2|α1∈W1，α2∈W2}分别称为这两个子空间的交与和.定理4线性空间V的两个子空间W1，W2的交与和仍是V的子空间.第七章线性空间与线性变换§4子空间的维数与基维数公式（续2）dimW1+dimW2=dim(W1+W2)+dim(W1∩W2)定理5(维数公式)设W1，W2是线性空间V的两个子空间，则第七章线性空间与线性变换§5线性变换及其矩阵表示则称T为V上的线性变换.定义：设V是数域P上的线性空间,T是从V到V的一个变换，且满足：1）对任意α，β∈V,有T(α+β)=T(α)+T(β);2）对任意α∈V及任意k∈P,有T(kα)=kT(α).设γ=T(α)，称γ为α的像，α为γ的原像.第七章线性空间与线性变换§5线性变换及其矩阵表示(续1)1.T(θ)=θ,T(-α)=-T(α);线性变换的简单性质：2.T(k1α1+k2α2+…+ksαs)=k1T(α1)+k2T(α2)+…+ksT(αs)3.若α1,α2,…,αs线性相关，则T(α1),T(α2),…,T(αs)线性相关.反之未必.第七章线性空间与线性变换§5线性变换及其矩阵表示(续2)几种特殊的线性变换：1.单位变换（恒等变换）I:任意α∈V,I(α)=α.2.零变换O:任意α∈V,O(α)=θ.3.数乘变换K:任意α∈V,K(α)=kα.第七章线性空间与线性变换§5线性变换及其矩阵表示(续3)例1P[x]n中，∨f(x),定义Ð(f(x))=f/(x)则Ð为P[x]n上的线性变换.Rn中的线性变换Y=AX与n阶方阵一一对应.第七章线性空间与线性变换§5线性变换及其矩阵表示(续4)11112121212122221122()...()...............()...nnnnnnnnnnTaaaTaaaTaaa定义：设Ⅰ：ξ1，ξ2，…，ξn为线性空间V的一组基，T为V上的线性变换，且记作：称A=[aij]n×n为T在基Ⅰ下的矩阵.1112121222121212......((),(),...,())(,,...,)...............nnnnnnnnaaaaaaTTTaaa第七章线性空间与线性变换§5线性变换及其矩阵表示(续5)任意β∈V，设β=k1ξ1+k2ξ2+…+knξn所以T由T(ξ1)，T(ξ2)，…，T(ξn)确定，即由A确定.取定V的一组基，则T与A一一对应.1112121222121212......(,,...,)(,,...,)...............nnnnnnnnaaaaaaTaaa则T(β)=k1T(ξ1)+k2T(ξ2)+…+knT(ξn)第七章线性空间与线性变换§5线性变换及其矩阵表示(续6)几种特殊的线性变换的矩阵：1.单位变换I(在任何基下)的矩阵为:2.零变换O(在任何基下)的矩阵为:3.数乘变换K(在任何基下)的矩阵为:E(单位矩阵).O(零矩阵):12120...00...0((),(),...,())(,,...,)............00...nnkkKKKkkE.第七章线性空间与线性变换§5线性变换及其矩阵表示(续7)例1P[x]n中，∨f(x),定义Ð(f(x))=f/(x)取基1,x,x2,…,xn-1,求Ð在此基下的矩阵A.解:Ð(1)=0,Ð(x)=1,Ð(x2)=2x,……Ð(xn-1)=(n-1)xn-2,0100...00020...00003...0..................0000...10000...0An第七章线性空间与线性变换§5线性变换及其矩阵表示(续8)例2R3中，取两组基，Ⅱ：α1=(2,2,1)T,α2=(1,1,-1)T,α3=(-1,0,1)Tσ是R3上的线性变换：123100()0,()1,()0111Ⅰ:ε1=(1,0,0)T,ε2=(0,1,0)T,ε3=(0,0,1)T分别求σ在基Ⅰ,Ⅱ下的矩阵A和B.第七章线性空间与线性变换§5线性变换及其矩阵表示(续9)定理6设T为线性空间V上的线性变换，从基Ⅰ：ξ1，ξ2，…，ξn到基Ⅱ：η1,η2,…,ηn的过渡阵为P，T在两组基下的矩阵分别为A和B，则证：T(ξ1，ξ2，…，ξn)=(ξ1，ξ2，…，ξn)AT(η1,η2,…,ηn)=(η1,η2,…,ηn)B右边=(ξ1，ξ2，…，ξn)PB左边=T((ξ1，ξ2，…，ξn)P)=(T(ξ1，ξ2，…，ξn))P=(ξ1，ξ2，…，ξn)AP∴AP=PB,即B=P-1APB=P-1AP第七章线性空间与线性变换§5线性变换及其矩阵表示(续10)211210111P123100()0,()1,()0111123123100()()010111Ⅱ:α1=(2,2