4.1.1圆的标准方程

1、若已知C(3,-8),D(x,y),它们之间的距离为d，则这条等式该如何表示呢?温故而知新22(3)(8)CDxyd2、具有什么性质的点的轨迹称为圆？答：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心,定长是半径。我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线．在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？AMrxOy当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了．因此一个圆最基本要素是圆心和半径．xOyA(a,b)Mr(x,y)引入新课如图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置用坐标(a,b)表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x,y)与圆心A(a,b)的距离．圆上任意点M(x,y)与圆心A(a,b)之间的距离能用什么公式表示？rMAMp||rbyax22)()(222)()(rbyax圆的方程.21221221yyxxPP根据两点间距离公式：则点M、A间的距离为：.22byaxMA即：是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？222)()(rbyax圆的标准方程点M(x,y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标适合方程；反之，若点M(x,y)的坐标适合方程，这就说明点M与圆心的距离是r，即点M在圆心为A(a,b)，半径为r的圆上．把这个方程称为圆心为A(a,b)，半径长为r的圆的方程，把它叫做圆的标准方程圆的标准方程知识点拨：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程xCMrOy(x-a)2+(y-b)2=r2圆心坐标C(a,b)圆的半径r说明：1、特点：明确给出了圆心坐标和半径。2、确定圆的方程必须具备三个独立条件。圆的标准方程思考:下列方程是圆方程吗？mbyax22)()(022)()(byax222rbyax)()(1.写出下列各圆的方程（1）圆心在原点，半径为3；（2）圆心在C（3,4），半径为；（3）经过点P（5,1），圆心在点C（8，-3）；练习5229xy22(3)(4)5xy22(8)(3)25xy巩固、回答下列圆的圆心坐标和半径：5:221yxC4)3(:222yxC2)1(:223yxC3)1()2(:224yxC(0,0)5(3,0)r=2(0,-1),r=2(-2,1),r=3圆的标准方程例题1、根据下列条件，求圆的方程。（1）圆心为点C（1，3），并与直线3x-4y-6=0相切;（2）过点(0,1)和点(2,1),半径为。5(1)(x-1)2+(y-3)2=9(2)(x-1)2+(y+1)2=5或(x-1)2+(y-3)2=5类比于直线方程求法待定系数法关键：求圆心和半径(3)已知点A（2，3），B（4，9）,圆以线段AB为直径；（3）(x-3)2+(y-6)2=10xy0例题2:求过点A（6，0），B（1，5）,且圆心在直线L:2x-7y+8=0上的圆的方程。答案：(x-3)2+(y-2)2=13练习：求过三点A(5,1),B(7,-3),C(2,8)的圆的方程圆心：两条弦的中垂线的交点半径：圆心到圆上一点xyOEA(5,1)B(7,-3)C(2,-8)几何方法方法一：方法二：待定系数法待定系数法解：设所求圆的方程为：222)()(rbyax因为A(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圆上222222222(5)(1)(7)(3)(2)(8)abrabrabr235abr22(2)(3)25xy所求圆的方程为例3：若点A是圆(x+3)2+(y-a)2=10上任一点,并且A关于直线l:2x+y-1=0的对称点也在圆上，求实数a的值.直线l:2x+y-1=0平分圆(x+3)2+(y-a)2=10的面积,求实数a的值。练习：22:(+1)(+1)41)2):40.CxyCClxy已知圆求关于P(3,1)的对称圆.求关于直线的对称圆探究：点与圆的关系的判断方法：00(,)Mxy222()()xaybr（1）点在圆外：点在圆上：点在圆内：（2）2200()()xayb2r（3）2200()()xayb2r2200()()xayb2r[点与圆的位置关系]例题4、设圆,则坐标原点的位置是（）。(A)在圆外(B)在圆上（C）在圆内(D)与a的取值有关而无法确定.ayaxC2)1()(:22)1,0(aa且A练习:点(5a+1,12a)在圆的内部，则实数a的取值范围是（）1)1(22yx1||a(A)131a(B)51||a(C)131||a(D)D例5：22(,)(4)(3)11).PxyxyOOP已知为圆C:上任意一点，为原点，求的最大值和最小值.222).(1)(1)xy求的最大值和最小值.3).:10Plxy求到直线距离的最大值和最小值.例6:已知圆的方程为:，求2225xy（1）过点的切线方程；(4,3)A（2）过点的切线方程．(5,2)B（3）斜率等于1的切线的方程；（4）在轴上的截距是10的切线的方程．y圆的标准方程例题7、由圆x2+y2=4外一点P（3，2）向圆引割线PAB，求弦AB中点M的轨迹方程？AyxOP设所求圆的方程为：(x-a)2+(y-b)2=r2解：点M是AB弦的中点，也就垂直平分AB.所以，点M在以PO为直径的圆上，OM⊥PM,即：∠PMO=90°，因此，所求圆的方程是:BM弦中点一定在圆x2+y2=4内部，圆心(a,b)是PO中点,)1,23(半径r是PO长的一半213r413)1()23(22yx)4(22yx且圆的标准方程]三、圆222)()(rbyax在坐标系中，各种位置时方程特征：位置圆心在原点圆心在x轴上圆心在y轴上图形方程位置圆切x轴圆切y轴圆切两坐标轴图形方程222))bbyax（（222))abyax（（222))aayax（（222xyr222)ryax（222)(rbyx圆的标准方程(1)圆心为C(a,b)，半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2当圆心在原点时a=b=0，圆的标准方程为x2+y2=r2(2)由于圆的标准方程中含有a,b,r三个参数，因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。(3)注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方程解决实际问题。