向量的混合积

§1.5向量的混合积acbba实例：向量的混合积cba)(是这样的一个数，它的绝对值表示以向量a,b,c为棱的平行六面体的体积.向量混合积的几何意义：()().abcabcabc定义：称为向量，，的混合积，记为，，1,,(,,)0.abcabc定理三个向量共面混合积的性质(1)()()().abcbcacab(2)()().abcabc1212(3)(,,)(,,)(,,).aabcabcabc(4)(,,)(,,).abcabc混合积的坐标表达式123{;,,}(,,),(,,),(,,)xyzxyzxyzOeeeaaaabbbbcccc取仿射标架，设122331123123123()()()()(,,)(,,xyyzzxxyzxyyzzxxyyzzxzxyxyyzzxxyzxyzxyzaaaaaaabceeeeeecececebbbbbbaaaaaaccceeebbbbbbaaabbbeeeccc).123123{;,,}(,,)=1()=.xyzxyzxyzOeeeeeeaaaabcbbbccc若是右手直角标架，则，故123{;,,}=(,,),(,,),(,,),=0xyzxyzxyzxyzxyzxyzabcOeeeaaaabbbbccccaaaabcbbbccc三向量，，在仿射标架下的坐标分别为则，，三向量共面定理2111222333444(1,2,3,4)(,,),1,2,3,4,11(1,2,3,4)=011iiiiiixyzixyzxyzixyzxyz四点P的仿射坐标分别为则P共面的充要条件是.定理3拉格朗日恒等式()().abcdacadabcdbcbd对于任意向量，，，，有拉格朗日恒等式的应用证明：三直角棱锥的斜面面积的平方等于其它三个面的平方之和。已知2),,(cba，计算)()]()[(accbba.解)()]()[(accbba)()][accbbbcabaccbcccacba)(0)()(acbaacaaba)(0)()(0000cba)(cba)(2.4例1例2已知空间内不在一平面上的四点),,(111zyxA、),,(222zyxB、),,(333zyxC、),,(444zyxD,求四面体的体积.解由立体几何知，四面体的体积等于以向量AB、AC、AD为棱的平行六面体的体积的六分之一.1(,,)6VABACAD即14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxV式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.212121(,,)ABxxyyzz313131(,,)ACxxyyzz414141(,,)ADxxyyzz