第3章-晶体的宏观对称

crystalsymmetry晶体的对称性是晶体的基本性质之一。内部特征格子构造外部现象晶体的几何多面体形态晶体的物理性质化学性质第二章晶体的宏观对称一、对称的概念•是宇宙间的普遍现象。•是自然科学最普遍和最基本的概念，是建造大自然的密码。•对称是指物体相等部分作有规律的重复。对于晶体外形而言，就是晶面与晶面、晶棱与晶棱、角顶与角顶的有规律重复。二、晶体的对称1.由于晶体都具有格子状构造，而格子状构造就是质点在三维空间周期重复的体现，因此，所有的晶体都是对称的。2.晶体的对称受格子构造规律的限制。即只有符合格子构造规律的对称才能在晶体上出现，因此，晶体对称又是有限的。3.晶体的对称既然取决于格子构造，因此晶体的对称不仅体现在外形上，也体现在物理性质上（光学、力学、热学、电学性质）。三、晶体的对称操作和对称要素在对晶体的对称研究中，为使晶体上相同部分作有规律重复，必须借助一定的几何要素（点、线、面）进行一定的操作（如反映、旋转、反伸等）才能实现，这些操作称为对称操作(symmetryoperation)，在操作中所借助的几何要素，称为对称要素(symmetryelement)。反伸操作——对称中心(centerofsymmetry)反映操作——对称面(symmetryplane)旋转操作——对称轴(symmetryaxis)旋转反伸操作——倒转轴(rotoinversionaxis)旋转反映操作——映转轴(rotoreflectionaxis）对称操作：使对称图形中相同部分重复的操作。对称要素：在进行对称操作时所凭借的辅助几何要素(点、线、面)。对称中心（C）对称中心是一个假想的点，与之相应的对称操作为对此一点的反伸(Inversion)。当晶体具有对称中心时，通过晶体中心点的任意一直线，在其距中心点等间距的两端，必定出现晶体上两个相等部分。对称中心—C操作为反伸。只可能在晶体中心，只可能一个。总结：凡是有对称中心的晶体，晶面总是成对出现且两两反向平行、同形等大。对称面（P）对称面是一个假想的平面，与之相应的对称操作是此平面的反映。由这个平面将物体平分后的两个相等部分互成镜像的关系。对称面必通过晶体的中心。=symbolforamirrorplanem对称面(mirror)Reflectionacrossa“mirrorplane”reproducesamotif•检验是否成镜象反映的简单方法：作两相等部分上的对应点的连线，看是否与对称面垂直且等距。是则为对称面。晶体中对称面与晶面、晶棱有如下关系：（1）垂直并平分晶面；（2）垂直晶棱并通过它的中点；(3)包含晶棱并且平分晶面夹角。对称面的投影第一步，球面投影：设想将晶体中心与投影球中心重合，将P扩展后与投影球相交，交线就是该平面的球面投影。晶体上任一平面的球面投影均为圆。过投影球中心的平面，其球面投影是一个与投影球等径同心的圆，称为大圆；不过中心的，其球面投影均小于大圆，称为小圆。对称面是通过晶体中心的平面，在球面投影中它与投影球面的交线为一大圆。立方体的九个对称面极射赤平投影图对称轴为一假想的通过晶体几何中心的直线，其对称操作为绕此直线的旋转。当晶体围绕该直线每旋转一定角度后，晶体上的相同部分便出现一次重复。在旋转过程中，相等部分出现重复时所必须的最小旋转角，称为基转角（α）。在晶体旋转一周的过程中，相等部分出现重复的次数，称为轴次（n）。显然：对称轴（Ln）α＝360°/n或n＝360°/α•晶体外形上可能出现的对称轴有L1（无实际意义）、L2、L3、L4、L6，相应的基转角分别为360°、180°、120°、90°、60°。•L2、L3、L4和L6的作图符号分别为、▲、■、。•轴次高于2的对称轴称为高次轴。66MotifElementfirstoperationstepsecondoperationstep二次对称轴(two-foldrotation)(L2)α=360°/2=180°•一次轴无实际意义。任何物体旋转360度后都会重复。轴次高于2者称为高次轴。轴次为几次，在轴的周围晶体上有几个相等的部分。晶体中可以无对称轴，也可以有多种及多个对称轴同时存在。其他的对称轴(没有5-fold和6-fold的)晶体的对称定律：由于晶体是具有格子构造的固体物质，这种质点格子状的分布特点决定了晶体的对称轴只有n=1，2，3，4，6这五种，不可能出现n=5，n〉6的情况。为什么呢？1、直观形象的理解：垂直五次及高于六次的对称轴的平面结构不能构成面网，且不能毫无间隙地铺满整个空间,即不能成为晶体结构。在晶体上，对称轴可能存在的位置：（1）通过晶棱的中点；（2）通过晶面的中心；（3）通过角顶。在一个晶体中，除L1外，可以无、也可有一或多种对称轴，而每一种对称轴也可有一或多个。表示方法为3L4、4L3、6L2等。对称轴的投影①直立对称轴投影点位于基圆中心②水平对称轴投影点位于基圆上③倾斜对称轴投影点位于基圆内以立方体为例，画出其对称轴的极射赤平投影对称轴为通过晶体中心的直线，因此它们为投影球的直径。•图中可见，立方体的L4、L3和L2分别是四、三和两个对称面的交线，其赤平投影点落于对称面投影的交点上。立方体的对称要素及其赤平投影旋转反伸轴（Lin）也称为倒转轴。其对称操作是围绕直线旋转一定的角度和对于一定点的反伸。＝对称轴＋对称心种类：Li1=CLi2=PLi3=L3+CLi4Li6=L3+P（Rotoinversion）Li1=C2-foldrotoinversionStep1:rotate360°/2Note:thisisatemporarystep,theintermediatemotifelementdoesnotexistinthefinalpattern.Step2:invertThisisthesameasm,sonotanewoperationStep1Step2Li2=PLi3=L3C3-foldrotoinversionLi44-foldrotoinversion例Li4（◇）具有Li4对称的四方四方体Li6=L3P6-foldrotoinversion☆旋转反伸轴–Lin操作为旋转+反伸的复合操作。具体的操作过程：Li1=CLi2=PLi3=L3CLi4Li6=L3P•可见，除Li4外，其余各种旋转反伸轴都可以用其它简单的对称要素或它们的组合来代替，其间关系如下：Li1=C，Li2=P，Li3=L3+C，Li6=L3+P•但一般我们在写晶体的对称要素时，保留Li4和Li6，而其他旋转反伸轴就用简单对称要素代替。这是因为Li4不能被代替，Li6在晶体对称分类中有特殊意义。5．旋转反映轴（Lsn）旋转反映轴为一假想的直线；相应的对称操作为旋转加反映的复合操作。121‘旋转反映轴图解Ls1=P=Li2Ls3=L3+P=Li6Ls2=C=Li1Ls6=L3+C=Li3Ls4=Li4（a）（b）（c）（d）（e）旋转反映轴的作用可以由旋转反伸轴来代替：Ls1＝P＝Li2；Ls2＝C＝Li1；Ls3＝L3＋P⊥＝Li6；Ls4＝Li4；Ls6＝L3＋C＝Li3•对称中心：C•对称面：P•对称轴：L1、L2、L3、L4、L6•旋转反伸轴：L4i、L6i四、对称要素的组合◆对称要素组合不是任意的，必须符合对称要素的组合定律；◆当对称要素共存时，也可导出新的对称要素。定理1：LnL2LnnL2(L2与L2的夹角是Ln基转角的一半)逆定理：L2与L2相交，在其交点且垂直两L2会产生Ln，其基转角是两L2夹角的两倍。并导出其他n个在垂直Ln平面内的L2。例如:L4L2L44L2,L3L2L33L2思考:两个L2相交30°,交点处并垂直L2所在平面会产生什么对称轴?•定理2如果有一个偶次对称轴Ln垂直于对称面P则其交点必为对称中心C。逆定理一如果有一个偶次轴Ln与对称中心共存，则过C点且垂直于Ln的平面必为对称面。(n为偶数）逆定理二如果有一个对称面与对称中心共存，二者的交点必为对称中心CP×C简式Ln×P⊥--LnPC（n为偶数）Ln×C定理3：如果有一个对称面P包含Ln,必有n个对称面包含Ln，且任意两相邻P之间的夹角为αα=360o/2n以简式表示：Ln×P//=LnnP逆定理：如果两个对称面P以α角相交，其交线必为一个次轴Ln。思考:两个对称面相交60°,交线处会产生什么对称轴?•定理4如果有一个二次对称轴L2垂直于Lin，或者有一个对称面P包含Lin，当n为奇数时，则必有n个L2垂直或n个P包含Lin，当n为偶数时，则必有n/2个L2垂直或n/2个P包含Lin.•简式L2×Lin⊥-Lin(n/2)L2•或Lin×P//-Lin(n/2)PLin（n为偶数）L2×Lin⊥-LinnL2⊥•或Lin×P//-LinnP//(n为奇数)五、对称型的概念及晶体的分类各种晶体的对称程度有很大的差别，主要表现在它们所具有的对称要素的种类、轴次和数目上。在结晶学中，把结晶多面体中全部对称要素的总和，称为对称型。晶体中全部对称要素交于一点，在进行对称操作时至少有一点不动。因此对称型又称为点群。•经过数学推导，证明对称型只有32种。我们将属于同一对称型的所有晶体，归为一类，称为晶类。晶类也只有32个。•在32个晶类中，按它们所属的对称型特点划分为七个晶系。•再按高次对称轴的有无和高次对称轴的数目，将七个晶系并为三个晶族。根据高次轴的有无及多少而将晶体划分为三个晶族低级晶族：无高次轴；L2PC,C中级晶族：只有一个高次轴；L44L25PC高级晶族：有数个高次轴；3L44L36L29PC晶系(crystalsystem)的划分根据对称轴或倒转轴轴次的高低以及它们数目的多少，总共划分为如下七个晶系,分属于三个晶族。1、晶族、晶系、晶类的划分，见表3-4。这个表非常重要，一定要熟记。从这个表可知有7个晶系，对应7种空间格子形式。平行六面体的形状一共7种，对应有7套晶胞参数的形式，也对应7个晶系。表3-432个对称型六、十四种空间格子（十四种布拉维格子）1．平行六面体的选择对于每一种晶体结构而言，其结点(相当点)的分布是客观存在的，但平行六面体的选择是人为的。平行六面体的选择原则如下：1）所选取的平行六面体应能反映结点分布整体所固有的对称性；2）在上述前提下，所选取的平行六面体中棱与棱之间的直角关系力求最多；3）在满足以上二条件的基础上，所选取的平行六面体的体积力求最小。下面两个平面点阵图案中，请同学们画出其空间格子：4mmmm24mmmm2引出一个问题：空间格子可以有带心的格子；2．各晶系平行六面体的形状和大小•平行六面体的形状和大小用它的三根棱长（轴长）a、b、c及棱间的夹角（轴角）、、表征。这组参数（a、b、c；、、）即为晶胞参数.•在晶体宏观形态我们可以得到各晶系的晶体常数特点，是根据晶轴对称特点得出的.宏观上的晶体常数与微观的晶胞参数是对应的,但微观的晶体结构中我们可以得到晶胞参数的具体数值。3．平行六面体中结点的分布（即格子类型）1）原始格子（P）：结点分布于平行六面体的八个角顶上。2）底心格子（C、A、B）：结点分布于平行六面体的角顶及某一对面的中心。3）体心格子（I）：结点分布于平行六面体的角顶和体中心。4）面心格子（F）：结点分布于平行六面体的角顶和三对面的中心。其中底心、体心、面心格子称带心的格子，我们在前面画格子的例子中已经知道有带心格子的存在，这是因为有些晶体结构在符合其对称的前提下不能画出原始格子，只能画出带心的格子。4．十四种布拉维格子七个晶系---七套晶体常数—七种平行六面体种形状。每种形状有四种类型，那么就有7×4=28种空间格子？但在这28种中，某些类型的格子彼此重复并可转换，还有一些不符合某晶系的对称特点而不能在该晶系中存在，因此,只有14种空间格子，也叫14种布拉维格子。（A.Bravais于1848年最先推导出来的）举例说明：1、四方底心格子可转变为体积更小的四方原始格子；2、在等轴晶系中，若