简单的线性规划--含答案

课时作业20简单线性规划时间：45分钟满分：100分课堂训练1．若变量x、y满足约束条件x＋y≤2，x≥1，y≥0，则z＝2x＋y的最大值和最小值分别为()A．4和3B．4和2C．3和2D．2和0【答案】B【解析】画出可行域如图：作l0：2x＋y＝0.平移l0到经过点A(或B)，即当直线z＝2x＋y过A(2,0)时z最大，过B(1,0)时z最小，zmax＝4，zmin＝2.2．若实数x，y满足不等式组x＋3y－3≥0，2x－y－3≤0，x－my＋1≥0，且x＋y的最大值为9，则实数m＝()A．－2B．－1C．1D．2【答案】C【解析】画出x＋3y－3≥0，2x－y－3≤0，表示的平面区域如图，又x－my＋1＝0，恒过(－1,0)点，当m0时，x＋y无最大值，故选项A、B错误，因此m0，又满足条件的可行域必须是一个三角形，联立2x－y－3＝0，x－my＋1＝0，解得A(3m＋12m－1，52m－1)，∴3m＋12m－1＋52m－1＝9，解得m＝1.3．(2013·北京文)设D为不等式组x≥0，2x－y≤0，x＋y－3≤0表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．【答案】255【解析】区域D如图所示：则(1,0)到区域D的最小值即为(1,0)到直线y＝2x的距离：|2×1－0|5＝255.4．设z＝2x＋3y－6，式中x，y满足条件2x＋y≥6，x＋2y≥6，x≥0，y≥0.求z的最小值．【分析】在平行直线系中先作过原点的直线，再将直线平移到可行域中．【解析】不等式组所表示的平面区域如图所示(阴影部分)．作直线l0：2x＋3y＝0，把直线l0向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M且与原点距离最短，此时z＝2x＋3y－6取得最小值．解方程组2x＋y＝6，x＋2y＝6，得x＝2，y＝2.即M(2,2)．此时zmin＝2×2＋3×2－6＝4.【规律方法】利用可行域求最优解是解决线性规划问题中重要的一步．如果可行域是一个多边形及其内部，那么一般在其顶点处或边界处可使目标函数取得最大值或最小值．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．若变量x，y满足约束条件y≤1，x＋y≥0，x－y－2≤0，则z＝x－2y的最大值为()A．4B．3C．2D．1【答案】B【解析】画出可行域(如下图)，由z＝x－2y得y＝12x－z2，则当目标函数过C(1，－1)时取得最大值，所以zmax＝1－2×(－1)＝3.2．(2013·天津理)设变量x，y满足约束条件3x＋y－6≥0，x－y－2≤0，y－3≤0，则目标函数z＝y－2x的最小值为()A．－7B．－4C．1D．2【答案】A【解析】由x，y满足的约束条件3x＋y－6≥0，x－y－2≤0，y－3≤0，画出可行域如图，容易求出A(2,0)，B(5,3)，C(1,3)，可知z＝y－2x过点B(5,3)时，z最小值为3－2×5＝－7.3．已知x，y满足不等式组x＋y≤4，y≥x，x≥1，则yx＋1的取值范围是()A．[12，32]B．[1,3]C．[23，32]D．[23，3]【答案】A【解析】画出可行域，如图中阴影部分，yx＋1表示可行域内点(x，y)与点(－1,0)连线的斜率，结合图形易求得12≤yx＋1≤32.4．(2013·新课标Ⅱ理)已知a0，x，y满足约束条件x≥1，x＋y≤3，y≥ax－3，若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝()A.14B.12C．1D．2【答案】B【解析】作出线性约束条件x≥1，x＋y≤3，y≥ax－3.的可行域．因为y＝a(x－3)过定点(3,0)，故应如图所示，当过点C(1，－2a)时，z＝2x＋y有最小值，∴2×1－2a＝1，∴a＝12.5．已知x，y满足约束条件x≥0y≥0x＋y≥1，则(x＋3)2＋y2的最小值为()A.10B．22C．8D．10【答案】D【解析】作线性约束条件所表示的可行域如图阴影部分所示，而(x＋3)2＋y2的最小值表示C(－3,0)与图中阴影部分内的点的连线的最小值的平方，即|AC|2＝(－3－0)2＋(0－1)2＝10.6．若实数x，y满足x－y＋1≥0，x＋y≥0，x≤0，则z＝3x＋2y的最小值是()A．0B．1C.3D．9【答案】B【解析】上述不等式组所表示的可行域如下图阴影部分所示．令t＝x＋2y，则当直线y＝－12x＋12t经过原点O(0,0)时，12t取最小值，也即t有最小值为0，则z＝3x＋2y的最小值为30＝1.7．在平面直角坐标系中，若不等式组x＋y－1≥0，x－1≤0，ax－y＋1≥0(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为()A．－5B．1C．2D．3【答案】D【解析】如图，阴影面积为2，则AC＝4，∴A(1,4)，∴a＝3，故选D.8．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、质量、可获利润和托运能力限制数据列在下表中，那么，为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为()货物体积/每箱(m3)质量/每箱50kg利润/每箱(百元)甲5220乙4510托运限制2413A.4,1B．3,2C．1,4D．2,4【答案】A【解析】设托运货物甲x箱，托运货物乙y箱，由题意，得5x＋4y≤24，2x＋5y≤13，x，y∈N，利润z＝20x＋10y，由线性规划知识，可得x＝4，y＝1时，利润最大．二、填空题(每小题10分，共20分)9．若x、y满足的约束条件为x＋y－6≤0x＋2y－8≤00≤x≤40≤y≤3，要使z＝2x＋3y达到最大值，则x＝__________，y＝__________.【答案】4；2【解析】根据约束条件表示的平面区域，则x＋y－6＝0，x＋2y－8＝0，得x＝4，y＝2，即点P(4,2)．当l：2x＋3y＝z经过点P时，zmax＝14，此时x＝4，y＝2.10．设实数x，y满足x－y－2≤0，x＋2y－4≥0，2y－3≤0.则yx的最大值是________．【答案】32【解析】不等式组表示的平面区域如下图．令yx＝k，即y＝kx.∴所求的yx的最大值即为过原点斜率的最大值，有kmax＝kOA＝32.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．已知x－y＋2≥0，x＋y－4≥0，2x－y－5≤0，求：(1)z＝x＋2y－4的最大值；(2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；(3)z＝2y＋1x＋1的取值范围．【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9)．(1)易知平行直线系z＝x＋2y－4，过C点时z取得最大值，将C(7,9)代入z得最大值为21.(2)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，∴z的最小值是|MN|2＝92.(3)z＝2·y－－12x－－1表示可行域内任一点(x，y)与定点Q(－1，－12)连线的斜率的两倍．∵kQA＝74，kQB＝38，∴z的取值范围为[34，72]．12．某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A、B两种规格金属板，每张面积分别为2m2与3m2.用A种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A、B两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？【解析】设A、B两种金属板各取x张、y张，用料面积为z，则约束条件为3x＋6y≥455x＋6y≥55x，y∈Zx≥0y≥0，目标函数z＝2x＋3y.作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示．z＝2x＋3y变为y＝－23x＋z3，得斜率为－23，在y轴上截距为z3，且随z变化的一组平行直线．当直线z＝2x＋3y过可行域上点M时，截距最小，z最小．解方程组5x＋6y＝55，3x＋6y＝45，得M点的坐标为(5,5)．此时zmin＝2×5＋3×5＝25(m2)．答：两种金属板各取5张时，用料面积最省．【规律方法】本题属于给定一项任务，问怎样统筹安排才能使完成这项任务的人力、物力资源量最小的题型．解决这类问题的方法是：根据题意列出不等式组(约束条件)，确定目标函数；然后由约束条件画出可行域；最后利用目标函数对应直线的平移，在可行域内求出目标函数达到最小值的点，从而求出符合题意的解．