球的体积和表面积

1.3.2球的体积和表面积【课时目标】1．了解球的体积和表面积公式．2．会用球的体积和表面积公式解决实际问题．3．培养学生的空间想象能力和思维能力．1．球的表面积设球的半径为R，则球的表面积S＝________，即球的表面积等于它的大圆面积的________倍．2．球的体积设球的半径为R，则球的体积V＝________．一、选择题1．一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是()A．6π6B．π2C．2π2D．3ππ2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的()A．2倍B．22倍C．2倍D．32倍3．正方体的内切球和外接球的体积之比为()A．1∶3B．1∶3C．1∶33D．1∶94．若三个球的表面积之比为1∶2∶3，则它们的体积之比为()A．1∶2∶3B．1∶2∶3C．1∶22∶33D．1∶4∶75．长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为()A．25πB．50πC．125πD．以上都不对6．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的3倍，圆锥的高与球半径之比为()A．4∶9B．9∶4C．4∶27D．27∶4二、填空题7．毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”．又知地球的体积大约是火星的8倍，则火星的大圆周长约________万里．8．将一钢球放入底面半径为3cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4cm，则钢球的半径是________．9．(1)表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是________；(2)体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是________．三、解答题10．如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？11．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．能力提升12．已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出了四个过球心的平面截球与三棱锥所得的图形，如图所示，则()A．以上四个图形都是正确的B．只有(2)(4)是正确的C．只有(4)是错误的D．只有(1)(2)是正确的13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．1．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算．2．解决球与其他几何体的切接问题，通常作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．3．解答组合体问题要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题，运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体．1．3．2球的体积和表面积答案知识梳理1．4πR242．43πR3作业设计1．A[先由面积相等得到棱长a和半径r的关系a＝6π3r，再由体积公式求得体积比为6π6．]2．B[由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的2倍，则体积扩大到原来的22倍．]3．C[关键要清楚正方体内切球的直径等于棱长a，外接球的直径等于3a．]4．C[由表面积之比得到半径之比为r1∶r2∶r3＝1∶2∶3，从而得体积之比为V1∶V2∶V3＝1∶22∶33．]5．B[外接球的直径2R＝长方体的体对角线＝a2＋b2＋c2(a、b、c分别是长、宽、高)．]6．A[设球半径为r，圆锥的高为h，则13π(3r)2h＝43πr3，可得h∶r＝4∶9．]7．4解析地球和火星的体积比可知地球半径为火星半径的2倍，日行8万里指地球大圆的周长，即2πR地球＝8，故R地球＝4π(万里)，所以火星的半径为2π万里，其大圆的周长为4万里．8．3cm解析设球的半径为r，则36π＝43πr3，可得r＝3cm．9．(1)球(2)球解析设正方体的棱长为a，球的半径为r．(1)当6a2＝4πr2时，V球＝43πr3＝6πa3a3＝V正方体；(2)当a3＝43πr3时，S球＝4πr2＝63π6a26a2＝S正方体．10．解要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须V圆锥≥V半球，V半球＝12×43πr3＝12×43π×43，V圆锥＝13Sh＝13πr2h＝13π×42×h．依题意：13π×42×h≥12×43π×43，解得h≥8．即当圆锥形杯子杯口直径为8cm，高大于或等于8cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子．又因为S圆锥侧＝πrl＝πrh2＋r2，当圆锥高取最小值8时，S圆锥侧最小，所以高为8cm时，制造的杯子最省材料．11．解由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为3r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝13π·(3r)2·3r－43πr3＝53πr3，而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为33h，从而容器内水的体积是V′＝13π·(33h)2·h＝19πh3，由V＝V′，得h＝315r．即容器中水的深度为315r．12．C[正四面体的任何一个面都不能外接于球的大圆(过球心的截面圆)．]13．解设正方体的棱长为a．如图所示．①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，所以有2r1＝a，r1＝a2，所以S1＝4πr21＝πa2．②球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，2r2＝2a，r2＝22a，所以S2＝4πr22＝2πa2．③正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r3＝3a，r3＝32a，所以S3＝4πr23＝3πa2．综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3．