4-20.无穷区间的广义积分

模块基本信息一级模块名称积分学二级模块名称计算模块三级模块名称无穷区间上的广义积分模块编号4-20先行知识1、凑微分法模块编号4-92、分部积分法模块编号4-14、4-15知识内容教学要求掌握程度1、无穷区间上广义积分的定义和性质1、了解无穷区间上广义积分的定义和性质一般掌握2、无穷区间上的广义积分的计算2掌握无穷区间上广义积分的计算能力目标1、培养学生对知识的延伸推广能力和分析问题的能力2、培养学生的计算能力时间分配20分钟编撰陈亮校对方玲玲审核王清玲修订人张云霞审核人危子青一、正文编写思路及特点：思路：通过引例引出无穷区间上的广义积分的概念及其性质、推论。通过无穷区间上的广义积分的特点结合极限进行求解特点：让学生通过分析新问题，根据已学过的相关知识解决问题。二、授课部分（一）新课讲授前面我们所讨论的定积分中都假定积分区间是有限区间且被积函数()fx在积分区间上有界。但在一些实际问题中，我们常遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数有无穷间断点的情况，它们已经不属于前面所定义的定积分了。因此，我们有不必要对定积分做如下两种推广：（1）将积分区间由有限区间推广为无穷区间（称为无穷限的广义积分）；（2）将在积分区间上有界的被积函数推广为无界函数（称为无界函数的广义积分和瑕积分）.下面我们先来学习第一种---无穷区间上的广义积分。1、无穷区间上的广义积分的定义无穷区间有三种，分别为[a)，(b]，()，所以我们可以得到下面三种类型的无穷区间上的广义积分。定义1（1）设函数f(x)在区间[a)上连续，取ba，如果极限lim()babfxdx存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a)上的广义积分，记作()afxdx，即dxxfdxxfbaba)(lim)(这时也称广义积分()afxdx收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分()afxdx发散，这时()afxdx就不再表示具体数值了。（2）设函数f(x)在区间(b]上连续，取ab，如果极限lim()baafxdx存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间(b]上的广义积分，记作()bfxdx，即dxxfdxxfbaab)(lim)(这时也称广义积分()bfxdx收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分()bfxdx发散。（3）设函数f(x)在区间()上连续，如果广义积分0()fxdx和0()fxdx都收敛，，则称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间()上的广义积分，记作()fxdx，即0000()()()lim()lim()baabfxdxfxdxfxdxfxdxfxdx这时也称广义积分()fxdx收敛；否则，若两个积分0()fxdx，0()fxdx中至少有一个不存在，就称广义积分()fxdx发散。说明：上述广义积分统称为无穷限的广义积分。（选讲）2、无穷区间上的广义积分的几何意义广义积分()afxdx表示由曲线()yfx与x轴和xa所围无界区域的面积（如图1）。图12、无穷区间上的广义积分的计算如果F(x)是f(x)的原函数则babbabaxFdxxfdxxf)]([lim)(lim)()()(lim)()(limaFxFaFbFxb引入记号()lim()xFFx，()lim()xFFx可采用如下简记形式()[()]()()aafxdxFxFFa类似可得到()[()]()()bbfxdxFxFbF()[()]()()fxdxFxFF例1计算广义积分211dxx(一级)解：21[arctan]1dxxxxxxxarctanlimarctanlim()22例2计算广义积分221lndxxx（一级）解：221lndxxx=1111lim[]lim()2lnlnln2ln2bbbxbay=f(x)(选讲)例3计算广义积分0xxedx（一级）解：00000lim[]lim[]1xxxxxaaxedxxdexeedxeaa例4讨论广义积分1padxx(a0)的敛散性（二级）(选讲)解：当p1时1padxx1adxx[ln]ax当p1时1padxx11[]1paxp当p1时1111[]11ppapaadxxppx因此当p1时此广义积分收敛其值为11pap当p1时此广义积分发散三、能力反馈部分1、计算广义积分201xdxx（一级）2、计算广义积分0xxedx（一级）3、计算广义积分2122dxxx（一级）