柱体、锥体、台体的表面积与体积

§1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【课时目标】1．了解柱体、锥体、台体的表面积与体积的计算公式．2．会利用柱体、锥体、台体的表面积与体积公式解决一些简单的实际问题．1．旋转体的表面积名称图形公式圆柱底面积：S底＝________侧面积：S侧＝________表面积：S＝2πr(r＋l)圆锥底面积：S底＝________侧面积：S侧＝________表面积：S＝________圆台上底面面积：S上底＝____________下底面面积：S下底＝____________侧面积：S侧＝__________表面积：S＝________________2．体积公式(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝______．(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝______．(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝13(S′＋S′S＋S)h．一、选择题1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为()A．8B．8πC．4πD．2π2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为()A．1＋2π2πB．1＋4π4πC．1＋2ππD．1＋4π2π3．中心角为135°，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则A∶B等于()A．11∶8B．3∶8C．8∶3D．13∶84．已知直角三角形的两直角边长为a、b，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为()A．a∶bB．b∶aC．a2∶b2D．b2∶a25．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积和体积分别为()A．24πcm2,12πcm3B．15πcm2,12πcm3C．24πcm2,36πcm3D．以上都不正确6．三视图如图所示的几何体的全面积是()A．7＋2B．112＋2C．7＋3D．32二、填空题7．一个长方体的长、宽、高分别为9,8,3，若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为________．8．圆柱的侧面展开图是长12cm，宽8cm的矩形，则这个圆柱的体积为________________cm3．9．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________．三、解答题10．圆台的上、下底面半径分别为10cm和20cm．它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积和体积分别是多少？(结果中保留π)11．已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．能力提升12．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．2π＋23B．4π＋23C．2π＋233D．4π＋23313．有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)．1．在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．2．有关旋转体的表面积和体积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．3．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V柱体＝Sh――→S′＝SV台体＝13h(S＋SS′＋S′)――→S′＝0V锥体＝13Sh．4．“补形”是求体积的一种常用策略，运用时，要注意弄清补形前后几何体体积之间的数量关系．§1．3空间几何体的表面积与体积1．3．1柱体、锥体、台体的表面积与体积答案知识梳理1．πr22πrlπr2πrlπr(r＋l)πr′2πr2π(r′＋r)lπ(r′2＋r2＋r′l＋rl)2．(1)Sh(2)13Sh作业设计1．B[易知2πr＝4，则2r＝4π，所以轴截面面积＝4π×2＝8π．]2．A[设底面半径为r，侧面积＝4π2r2，全面积为＝2πr2＋4π2r2，其比为：1＋2π2π．]3．A[设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则2πr＝34πl，则l＝83r，所以A＝83πr2＋πr2＝113πr2，B＝83πr2，得A∶B＝11∶8．]4．B[以长为a的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V＝13πb2a，以长为b的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V＝13πa2b．]5．A[该几何体是底面半径为3，母线长为5的圆锥，易得高为4，表面积和体积分别为24πcm2,12πcm3．]6．A[图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱．直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，棱柱的高为1．可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，2，表面积S表面＝2S底＋S侧面＝12(1＋2)×1×2＋(1＋1＋2＋2)×1＝7＋2．]7．3解析由题意知，圆柱侧面积等于圆柱上、下底面面积和，即2πr×3＝2πr2，所以r＝3．8．288π或192π解析(1)12为底面圆周长，则2πr＝12，所以r＝6π，所以V＝π·6π2·8＝288π(cm3)．(2)8为底面圆周长，则2πr＝8，所以r＝4π，所以V＝π·4π2·12＝192π(cm3)．9．80003cm3解析由三视图知该几何体为四棱锥．由俯视图知，底面积S＝400，高h＝20，V＝13Sh＝80003cm3．10．解如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10，所以SA＝20，同理可得SB＝40，所以AB＝SB－SA＝20，∴S表面积＝S侧＋S上＋S下＝π(r1＋r2)·AB＋πr21＋πr22＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2)．故圆台的表面积为1100πcm2．h＝AB2－OB－O1A2＝202－102＝103，V＝13πh(r21＋r1r2＋r22)＝13π×103×(102＋10×20＋202)＝700033π(cm3)．即圆台的表面积为1100πcm2，体积为700033πcm3．11．解如图，E、E1分别是BC、B1C1的中点，O、O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，则O1O＝12．连接OE、O1E1，则OE＝12AB＝12×12＝6，O1E1＝12A1B1＝3．过E1作E1H⊥OE，垂足为H，则E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，HE＝OE－O1E1＝6－3＝3．在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝32×42＋32＝32×17，所以E1E＝317．所以S侧＝4×12×(B1C1＋BC)×E1E＝2×(12＋6)×317＝10817．12．C[该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为13×(2)2×3＝233，所以该几何体的体积为2π＋233．]13．解易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，2，1．考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平面的面积之和为下底面积最大正方体的底面面积的二倍．∴S表＝2S下＋S侧＝2×22＋4×[22＋(2)2＋12]＝36．∴该几何体的表面积为36．