章末检测试卷(二)

章末检测试卷(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段论推理()A．正确B．推理形式不正确C．两个“自然数”概念不一致D．“两个整数”概念不一致答案A解析三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的．2．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若a＋7t＝a7t(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则t－a等于()A．31B．41C．55D．71答案B解析观察下列等式：2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，照此规律，第6个等式中a＝7，t＝a2－1＝48，∴t－a＝41.故选B.3．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为()A.nn－4＋8－n8－n－4＝2B.n＋1n＋1－4＋n＋1＋5n＋1－4＝2C.nn－4＋n＋4n＋4－4＝2D.n＋1n＋1－4＋n＋5n＋5－4＝2答案A解析观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8.4．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是()A．假设2是有理数B．假设3是有理数C．假设2或3是有理数D．假设2＋3是有理数答案D解析应对结论进行否定，则2＋3不是无理数，即2＋3是有理数．5．下列推理正确的是()A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logayB．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sinx＋sinyC．把a(b＋c)与ax＋y类比，则有ax＋y＝ax＋ayD．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)答案D解析(xy)z＝x(yz)是乘法的结合律，正确．6．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有()①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥．A．4个B．3个C．2个D．1个答案C解析类比相似形中的对应边成比例知，①③属于相似体．7．求证：2＋35，证明：因为2＋3和5都是正数，所以为了证明2＋35，只需证明(2＋3)2(5)2，展开得5＋265，即260，此式显然成立，所以不等式2＋35成立．上述证明过程应用了()A．综合法B．分析法C．综合法及分析法D．间接证法答案B解析从证明过程可以看出，符合分析法的特点．8．已知f(x＋1)＝2fxfx＋2，f(1)＝1(x∈N＋)，猜想f(x)的表达式为()A.42x＋2B.2x＋1C.1x＋1D.22x＋1答案B解析当x＝1时，f(2)＝2f1f1＋2＝23＝22＋1，当x＝2时，f(3)＝2f2f2＋2＝24＝23＋1，当x＝3时，f(4)＝2f3f3＋2＝25＝24＋1，故可猜想f(x)＝2x＋1，故选B.9．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列说法正确的是()A．丙被录用了B．乙被录用了C．甲被录用了D．无法确定谁被录用了考点反证法及应用题点反证法的应用答案C解析假设甲说的是真话，即丙被录用，则乙说的是假话，丙说的是假话，不成立；假设甲说的是假话，即丙没有被录用，则丙说的是真话，若乙说的是真话，即甲被录用，成立，故甲被录用；若乙被录用，则甲和乙的说法都错误，不成立．故选C.10．设a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＝b与b＝c及a＝c中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数为()A．0B．1C．2D．3考点合情推理的含义题点合情推理的含义答案B解析若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则a＝b＝c，与“a，b，c是不全相等的正数”矛盾，故①正确．a＝b与b＝c及a＝c中最多只能有一个成立，故②不正确．由于“a，b，c是不全相等的正数”，有两种情形：有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确．11．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x](其中[x]表示不大于x的最大整数)可以表示为()A．y＝x＋510B．y＝x＋410C．y＝x＋310D．y＝x10答案C解析根据规定每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时，再增加一名代表，即余数分别为7,8,9时，可增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3，因此，利用取整函数可表示为y＝x＋310.12．如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为()A．6B．7C．8D．9答案C解析由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n(n≥2，n∈N＋)层的点数为6(n－1)．设一个点阵有n(n≥2，n∈N＋)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n－1)＝1＋6＋6n－12×(n－1)＝3n2－3n＋1.由题意得3n2－3n＋1＝169，即(n＋7)·(n－8)＝0，所以n＝8，故共有8层．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知a0，b0，m＝lga＋b2，n＝lga＋b2，则m，n的大小关系是________．考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题答案mn解析ab0⇒ab0⇒a＋b＋2aba＋b⇒(a＋b)2(a＋b)2⇒a＋ba＋b⇒a＋b2a＋b2⇒lga＋b2lga＋b2.14．观察下列等式：(1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，…，照此规律，第n个等式可为______________．答案(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)解析由已知的三个等式左边的变化规律，得第n个等式左边为(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)；由已知的三个等式右边的变化规律，得第n个等式右边为2n与n个奇数之积，即2n×1×3×…×(2n－1)．15．已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2，类比上述性质，可以得到椭圆x2a2＋y2b2＝1类似的性质为_____________________________________．答案x0xa2＋y0yb2＝1解析圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换，故可得椭圆x2a2＋y2b2＝1类似的性质为过椭圆x2a2＋y2b2＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为x0xa2＋y0yb2＝1.16．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．答案1和3解析由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”．又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”．所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，得甲只能为“1和3”．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，{an}有如下性质：(m，n，p，q∈N＋)①通项an＝am＋(n－m)d；②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；③若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap；④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等差数列．类比上述性质，在等比数列{bn}中，写出类似的性质．解在等比数列{bn}中，公比为λ(λ≠0)，前n项和为Sn′，{bn}有如下性质：(m，n，p，q∈N＋)①通项bn＝bm·λn－m；②若m＋n＝p＋q，则bm·bn＝bp·bq；③若m＋n＝2p，则bm·bn＝b2p；④Sn′，S2n′－Sn′，S3n′－S2n′(Sn′≠0)构成等比数列．18．(12分)已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)0，用反证法证明关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实数根．证明假设方程x2－2x＋5－p2＝0有实数根，则该方程的根的判别式Δ＝4－4(5－p2)≥0，解得p≥2或p≤－2.①而由已知条件实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)0，解得－2p－12.②数轴上表示①②的图形无公共部分，故假设不成立，从而关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实数根．19．(12分)已知a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.求证：1a－11b－11c－1≥8.证明要证1a－11b－11c－1≥8成立，只需证1－aa·1－bb·1－cc≥8成立．∵a＋b＋c＝1，∴只需证a＋b＋c－aa·a＋b＋c－bb·a＋b＋c－cc≥8成立，即b＋ca·a＋cb·a＋bc≥8，∴只需证b＋ca·a＋cb·a＋bc≥2bca·2acb·2abc≥8成立，而2bca·2acb·2abc≥8显然成立，∴1a－11b－11c－1≥8成立．20．(12分)已知A，B都是锐角，且A＋B≠90°，(1＋tanA)·(1＋tanB)＝2.求证：A＋B＝45°.考点综合法及应用题点利用综合法解决函数问题证明因为(1＋tanA)(1＋tanB)＝2，展开化简为tanA＋tanB＝1－tanAtanB.因为A＋B≠90°，tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝1，又因为A，B都是锐角，所以0°A＋B180°，所以A＋B＝45°.21．(12分)某同学在研究三角形的性质时，发现了有些三角形的三边长有以下规律：①3(3×4＋4×5＋5×3)≤(3＋4＋5)24(3×4＋4×5＋5×3)；②3(6×8＋8×9＋9×6)≤(6＋8＋9)24(6×8＋8×9＋9×6)；③3(3×4＋4×6＋6×3)≤(3＋4＋6)24(3×4＋4×6＋6×3)．分析以上各式的共同特征，猜想出关于任一三角形三边长a，b，c的一般性的不等式结论并证明．解猜想：3(ab＋ac＋bc)≤(a＋b＋c)24(ab＋ac＋bc)；证明如下：(a＋b＋c)2－3(ab＋ac＋bc)＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc－3ab－3ac－3bc＝a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝12(a－b)2＋12(a－c)2＋12(b－c)2≥0.所以3(ab＋ac＋bc)≤(a＋b＋c)2；4(ab＋ac＋bc)－(a＋b＋c)2＝4ab＋4ac＋4bc－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc＝2ab＋2ac＋2bc－a2－b2－c2＝a(b＋c－a)＋b(a＋c－b)＋c(a＋b－c)．①因为三角形两边之和大于第三边，所以①式0.所以4(ab＋ac＋bc)(a＋b＋c)2.所以3(ab＋ac＋bc)≤(a＋b＋c)24(ab＋ac＋bc)．22．(12分)设{an}是公比为q的等比数列．(1)推导数列{an}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．考点反证法及应用题点反证法的应用(1)解设数列{an}的前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋