选修2-1综合测试

单元综合测试四(模块综合测试)时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．下列命题错误的是()A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”是逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”B．若命题p：∃x∈R，x2＋x＋1＝0，则綈p为：∀x∈R，x2＋x＋1≠0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件【答案】C【解析】p∧q为假命题，则p，q中至少有一个是假命题即可，不一定p，q都是假命题．2．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为()A．－2B．－143C.145D．2【答案】D【解析】a－λb＝(λ－2,1－2λ，3－λ)，由a⊥(a－λb)，得－2(λ－2)＋1－2λ＋9－3λ＝0，解得λ＝2.3．“p或q是假命题”是“非p为真命题”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】p或q是假命题意味着p，q都是假命题，从而可以得出非p是真命题；反之，非p为真命题，即p为假命题时，p或q也可能是真命题(q是真命题)．4．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A．4B．6C．8D．12【答案】B【解析】抛物线y2＝8x的焦点是F(2,0)，准线方程是x＝－2，如图所示，PA＝4，AB＝2，所以PB＝PF＝6，故选B.5．命题“∃x0∈R，12x0－31”的否定是()A．∃x0∈R，12x0－3≤1B．∀x0∈R，12x0－31C．∀x0∈R，12x0－3≤1D．∃x0∈R，12x0－31【答案】C【解析】存在性命题的否定为全称命题，故选C.6．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB1与平面AB1C1所成的角为()A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】A【解析】利用等积法求B到平面AB1C1的距离d.VA－BB1C1＝VB－AB1C1，求出d＝32，sinθ＝12，θ＝π6.7．已知命题“a≥b⇒cd”“cd⇒/a≥b”和“ab⇔e≤f”都是真命题，那么“c≤d”是“e≤f”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由a≥b⇒cd等价于c≤d⇒ab，又ab⇔e≤f，①∵c≤d⇒e≤f，又cd⇒/a≥b，∴ab⇒/c≤d，由①得e≤f⇒/c≤d，∴c≤d是e≤f的充分不必要条件．8．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上，且AM→＝12MC1→，N为B1B的中点，则|MN→|为()A.216aB.66aC.156aD.153a【答案】A【解析】如图．设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则|MN→|＝|MA→＋AB→＋BN→|＝|－13AC1→＋AB→＋12BB1→|＝|－13(a＋b＋c)＋a＋12c|＝|23a－13b＋16c|.∴|MN→|2＝(23a－13b＋16c)2，可求得|MN→|＝216a.9．平面内有一长度为2的线段AB和一动点P，若满足|PA|＋|PB|＝6，则|PA|的取值范围是()A．[1,4]B．[1,6]C．[2,6]D．[2,4]【答案】D【解析】因为|PA|＋|PB|＝62，所以P点的轨迹为椭圆，所以3－1≤PA≤3＋1，即|PA|∈[2,4]．10．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE→·AF→的值为()A．a2B.12a2C.14a2D.34a2【答案】C【解析】如图，设AB→＝a，AC→＝b，AD→＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.AE→＝12(a＋b)，AF→＝12c，∴AE→·AF→＝12(a＋b)·12c＝14(a·c＋b·c)＝14(a2cos60°＋a2cos60°)＝14a2.11．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为()A.53B.43C．2D.73【答案】A【解析】e＝2c2a＝|F1F2||PF1|－|PF2|≤|PF1|＋|PF2||PF1|－|PF2|＝5|PF2|3|PF2|＝53.12．(2013·山东理)抛物线C1：y＝12px2(p0)的焦点与双曲线C2：x23－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝()A.316B.38C.233D.433【答案】D【解析】抛物线焦点A(0，p2)，双曲线右焦点为B(2,0)，双曲线渐近线方程为y＝±33x，直线AB方程为px＋4y－2p＝0，由y＝12px2px＋4y－2p＝0，得M点横坐标为xM＝－p2＋p4＋16p24，又y′＝1px，∴1pxM＝33，即－p＋p2＋164＝33，即p2＋16＝433＋p，又p0，平方可解得p＝433.二、填空题(每小题4分，共16分)13．方程3x2－10x＋k＝0(k∈R)有相异的两个同号实根的充要条件是________．【答案】0k253【解析】由题意，可得k0，且Δ＝100－12k0，∴0k253.14．定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝________.【答案】94【解析】l到C2的距离为42－2＝2，设平移y＝x与C1相切，切点为(x0，y0)．y′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝12，由点到直线距离知2＝|12－14－a|2，∴a－14＝±2，∴a＝94或a＝－74.当a＝－74时不满足题意，故a＝94.15．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，则以AB→，AC→为边的平行四边形的面积为________．【答案】73【解析】由题意可得AB→＝(－2，－1,3)，AC→＝(1，－3,2)，∴cos〈AB→，AC→〉＝AB→·AC→|AB→|·|AC→|＝－2＋3＋614×14＝714＝12，∴sin〈AB→，AC→〉＝32，∴以AB→，AC→为边的平行四边形的面积S＝2×12|AB→|·|AC→|·sin〈AB→，AC→〉＝14×32＝73.16．下列命题中：①若p，q为两个命题，则“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件；②若p为：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0，则綈p为：∀x∈R，x2＋2x＋20；③若椭圆x216＋y225＝1的两个焦点为F1，F2，且弦AB过点F1，则△ABF2的周长为16；④若a0，－1b0，则abab2a.所在正确命题的序号为________．【答案】②④【解析】若p且q为真，则p，q都真，故p或q为真；若p或q为真，则p，q可能只有一个为真，故p且q可能为假，所以“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件．①为假命题．由存在性命题的否定形式知，②是真命题．由椭圆定义及已知条件得△ABF2的周长＝4a＝4×5＝20.故③是假命题．因为a0，－1b0，所以ab0，ab20，故abab2.因为－1b0，所以b21.又因为a0，所以ab2a.故④是真命题．三、解答题(共74分)17．(本题满分12分)设命题p：(4x－3)2≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【分析】写出命题綈p和綈q，分别求出其对应的解集A和B.根据綈p是綈q的必要不充分条件，可知B⊆A，然后求出a即可．【解析】綈p：(4x－3)21；綈q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)0.解(4x－3)21，得x1或x12；解x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)0，得xa＋1或xa.∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴a＋1≥1，a≤12，即0≤a≤12.故a的取值范围为[0，12]．18．(本题满分12分)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱AB的中点，点P在平面A1B1C1D1上，D1P⊥平面PCE.(1)试求：线段D1P的长；(2)直线DE与平面PCE所成角的正弦值．【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，E(2,1,0)，C(0,2,0)．设P(x，y,2)，则D1P→＝(x，y,0)，EP→＝(x－2，y－1,2)，EC→＝(－2,1,0)．因为D1P⊥平面PEC，所以D1P⊥EP，D1P⊥EC，所以D1P→·EP→＝0，D1P→·EC→＝0，故xx－2＋yy－1＝0，－2x＋y＝0，解得x＝0，y＝0(舍去)或x＝45，y＝85.则P(45，85，2)．所以D1P→＝(45，85，0)，所以|D1P→|＝1625＋6425＝455.(2)由(1)知，DE→＝(2,1,0)，D1P→＝(45，85，0)，D1P→⊥平面PCE，设DE与平面PCE所成角为θ，D1P→与DE→所成角为α，则sinθ＝|cosα|＝|D1P→·DE→|D1P→||DE→||＝1655×8025＝45，所以直线DE与平面PCE所成角的正弦值为45.19．(本题满分12分)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C：x2－y22＝1交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．【解析】设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，由x2－y22＝1，x－y＋m＝0得x2－2mx－m2－2＝0(判别式Δ0)，∴x0＝x1＋x22＝m，y0＝x0＋m＝2m，∵点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，∴m2＋(2m)2＝5，∴m＝±1.20．(本题满分12分)(2014·北京理，17)如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点．在五棱锥P－ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.(1)求证：AB∥FG；(2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．【解析】(1)在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以AB∥DE.又因为AB⊄平面PDE，所以AB∥平面PDE.因为AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE＝FG，所以AB∥FG.(2)因为PA⊥底面ABCDE，所以PA⊥AB，PA⊥AE.如图建立空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，BC→＝(1,1,0)．设平面ABF的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AB→＝0，n·AF→＝0，即x＝0，y＋z＝0.令z＝1，则y＝－1，所以n＝(0，－1,1)．设直线BC与平面ABF所成角为α，则sinα＝|cos〈n，BC→〉|＝|n·BC→|n||BC→||＝12.因此直线BC与平面ABF所成角的大小为π6.设点H的坐标为(u，v，w)．因为点H在棱PC上，所以可设PH→＝λPC→(0λ1)，即(u，v，w－2)＝λ(2,1，－2)，所以u＝2λ，v＝λ，w＝2－2λ，因为n是平面ABF的法向量，所以n·AH→＝0，即(0，－1,1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0，解得λ＝23，所以点H的坐标为(43，23，23)．所以PH＝432＋232＋－432＝2.21．(本题满分13分)如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1.(2)求二面角D－AA1－C的余弦值．(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1若存在，求出点P的位置；若