选修2-1第一章单元综合测试

单元综合测试一(第一章综合测试)时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．下列语句中能作为命题的是()A．3比5大B．太阳和月亮C．高一年级的学生D．x2＋y2＝0【答案】A【解析】由于可以明确地肯定3比5大这一语句为假，根据命题的概念，故应选A.2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数【答案】D【解析】原命题是全称命题，则其否定是存在性命题，故选D.3．命题“π≥3.14”使用的逻辑联结词的情况是()A．没有使用逻辑联结词B．使用了逻辑联结词“且”C．使用了逻辑联结词“或”D．使用了逻辑联结词“非”【答案】C【解析】“π≥3.14”的意思为：“π3.14或π＝3.14”．故选C.4．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下面四个命题：①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确的两个命题的序号是()A．①与②B．③与④C．②与④D．①与③【答案】D【解析】①成立．若l⊥α，α∥β，则l⊥β.又因为m⊂β，故l⊥m.②不成立，l与m也可能异面或相交．③成立，若l∥m，l⊥α，则m⊥α.又m⊂β，则α⊥β.④不成立．举反例即可知α与β可能相交．5．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3,则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c23B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c23C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3【答案】A【解析】根据一个命题的否命题的构成，即将条件和结论均否定，因此所求命题的否命题是“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c23”．6．(2014·天津理)设a，b∈R，则“ab”是“a|a|b|b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】本题考查简易逻辑中充分性、必要性．当ab⇒a|a|b|b|，当ab0时，a|a|－b|b|＝a2－b2＝(b－a)(a－b)0成立，当ba0时a|a|－b|b|＝a2＋b20成立，当b0a时，a|a|－b|b|＝a2＋b20成立，同理由a|a|b|b|⇒ab.选C.7．若“∃x∈R,2x≤a”为假命题，则实数a的取值范围是()A．a≤0B．a0C．a≥0D．a0【答案】A【解析】命题“∃x∈R,2x≤a”为假命题，其否定为“∀x∈R,2xa”为真命题．只要2x0≥a即可，故a≤0.8．(2014·湖南理)已知命题p：若xy，则－x－y；命题q：若xy，则x2y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是()A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】C【解析】本题考查命题的真假及逻辑联结词．当xy时，两边乘以－1可得－x－y，所以命题p为真命题，当x＝1，y＝－2时，因为x2y2，所以命题q为假命题，所以②③为真命题，故选C.9．命题p：在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角，则命题“綈p”是()A．在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都不是锐角B．在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B不都是锐角C．在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都不一定是锐角D．以上都不对【答案】B【解析】由命题的否定知B正确．10．下列说法错误的是()A．命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是“若x≠3，则x2－4x＋3≠0”B．“x＝3”是“|x|0”的充分不必要条件C．若“p且q”为假命题，则p，q均为假命题D．命题p：∃x∈R，使x2＋x＋10，则綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0【答案】C【解析】根据逆否命题的定义知选项A正确；x＝3⇒|x|0，但|x|0⇒/x＝3，知选项B正确；“p且q”为假命题，则至少有一个为假命题，知选项C不正确；由命题p的否定知选项D正确．11．“a＝18”是“对任意的正数x,2x＋ax≥1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】a＝18⇒2x＋ax＝2x＋18x≥22x×18x＝1.另一方面，对任意正数x,2x＋ax≥1，只要2x＋ax≥22x×a8x＝22a≥1⇒a≥18，所以选A.12．(2014·全国新课标Ⅰ理)不等式组x＋y≥1x－2y≤4的解集记为D.有下面四个命题：p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2，p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2，p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3，p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.其中真命题是()A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3【答案】B【解析】本题考查线性规划和逻辑的知识．不等式组x＋y≥1x－2y≤4表示的平面区域如图所示．可以验证选项P1，P2正确，所以选B.二、填空题(每小题4分，共16分)13．“相似三角形的面积相等”的否命题是“________”，它的否定是“________”．【答案】若两个三角形不相似，则它们的面积不相等有些相似三角形的面积不相等【解析】首先分清原命题的条件和结论，否命题是对条件和结论同时进行否定，而命题的否定是只对命题的结论进行否定．14．写出命题“若方程ax2－bx＋c＝0的两根均大于0，则ac0”的一个等价命题是________．【答案】若ac≤0，则方程ax2－bx＋c＝0的两根不全大于0【解析】原命题与逆否命题等价．15．设命题p：|4x－3|≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若¬p是¬q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．【答案】0≤a≤12【解析】命题p：|4x－3|≤1⇔12≤x≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0⇔a≤x≤a＋1.∵¬p是¬q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件，则有a≤12a＋1≥1，∴0≤a≤12.16．下列三个命题中，真命题的序号有________(写出所有真命题的序号)．①将函数y＝|x＋1|的图象向左平移1个单位，得到的图象对应的函数表达式为y＝|x|.②圆x2＋y2＋4x－2y＋1＝0与直线y＝12x相交，所得弦长为2.③若sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tanαtanβ＝5.【答案】③【解析】①错误，得到的图象对应的函数表达式应为y＝|x＋2|.②错误，圆心坐标为(－2,1)，半径为2，圆心到直线y＝12x的距离为455，圆截直线所得弦长为24－4552＝455.③正确，sin(α＋β)＝12＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝13，两式相加，得2sinαcosβ＝56，两式相减，得2cosαsinβ＝16，将以上两式相除，即得tanαtanβ＝5.三、解答题(共74分)17．(本题满分12分)写出命题“若x－2＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．【解析】逆命题：若x＝2且y＝－1，则x－2＋(y＋1)2＝0；真命题．否命题：若x－2＋(y＋1)2≠0，则x≠2或y≠－1；真命题．逆否命题：若x≠2或y≠－1，则x－2＋(y＋1)2≠0；真命题．18．(本题满分12分)指出下列各组命题中，p是q的什么条件？(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种)(1)在△ABC中，p：∠A∠B，q：BCAC；(2)p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0；(3)p：a2，q：a5；(4)p：ab，q：ab1.【解析】(1)在△ABC中，∠A∠B⇔BCAC.所以p是q的充要条件．(2)a＝3⇒(a＋2)(a－3)＝0，但(a＋2)(a－3)＝0⇒/a＝3.所以p是q的充分而不必要条件．(3)a2⇒/a5，但a5⇒a2，所以p是q的必要而不充分条件．(4)ab⇒/ab1，且ab1⇒/ab，所以p是q的既不充分也不必要条件．19．(本题满分12分)已知p：x∈A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，q：x∈B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；(2)若p是綈q的充分条件，求实数m的取值范围.【解析】由x2－2x－3≤0得－1≤x≤3，∴A＝[－1,3]．由x2－2mx＋m2－4≤0得m－2≤x≤m＋2，∴B＝[m－2，m＋2]．(1)若A∩B＝[0,3]，则m－2＝0，∴m＝2，此时，B＝[0,4]，符合题意．(2)綈q：xm＋2或xm－2.由题意得A⊆(－∞，m－2)∪(m＋2，＋∞)，∴m－23或m＋2－1，解得m5或m－3.即m的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)0.求实数p的取值范围．【解析】在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)0的否定是：在[－1,1]上的所有实数x，都有f(x)≤0恒成立．又由二次函数的图象(如图)特征可知：f－1≤0，f1≤0，即4＋2p－2－2p2－p＋1≤0，4－2p－2－2p2－p＋1≤0，⇒p≥1或p≤－12，p≥32或p≤－3，∴p≥32或p≤－3.故p的取值范围是－3p32.21．(本题满分13分)已知a0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，如果p与q有且只有一个正确，求a的取值范围．【解析】当0a1时，函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a1时，y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减．曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同两点等价于(2a－3)2－40.即a12或a52.(1)p正确，q不正确．则a∈(0,1)∩a12≤a≤52且a≠1，即a∈12，1.(2)p不正确，q正确．则a∈(1，＋∞)∩a0a12或a52，即a∈52，＋∞.综上所述，a的取值范围为12，1∪52，＋∞.22．(本题满分13分)已知m∈Z，关于x的方程：①mx2－4x＋4＝0，②x2－4mx＋4m2－4m－5＝0.求方程①和②的根都是整数的充要条件．【解析】当m＝0时，方程②为x2－5＝0，无整数根．当m≠0时，方程①有实数根的充要条件是Δ＝16－16m≥0，解得m≤1；方程②有实数根的充要条件是Δ＝16m2－4(4m2－4m－5)≥0，解得m≥－54，所以－54≤m≤1且m≠0.而m∈Z，故m＝－1或m＝1.当m＝－1时，方程①mx2－4x＋4＝0无整数根；当m＝1时，方程①②均有整数根．反之，成立．综上，方程①和②均有整数根的充要条件是m＝1.