选修2-2第三章单元综合测试

单元综合测试三(第三章综合测试)时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．|21＋i|＝()A．22B．2C.2D．1【答案】C【解析】∵21＋i＝1－i，∴|21－i|＝|1－i|＝2，故选C.2．(2014·重庆理)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】因为i(1－2i)＝2＋i，所以对应的点在第一象限．i2＝－1，i3＝－i，i4＝1.3．(2014·辽宁理)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝()A．2＋3iB．2－3iC．3＋2iD．3－2i【答案】A【解析】z－2i＝52－i＝2＋i，∴z＝2＋3i.4．非零复数z1，z2分别对应复平面内向量OA→，OB→，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则向量OA→与OB→的关系有()A.OA→＝OB→B．|OA→|＝|OB→|C.OA→⊥OB→D.OA→，OB→共线【答案】C【解析】由向量的加法及减法可知，在平行四边形OACB内，OC→＝OA→＋OB→，AB→＝OB→－OA→.非零复数z1，z2分别对应复平面内向量OA→，OB→，由复数加减法的几何意义可知，|z1＋z2|对应OC→的模，|z1－z2|对应AB→的模，又因为|z1＋z2|＝|z1－z2|，则|OC→|＝|AB→|，所以四边形OACB是矩形，因此OA→⊥OB→，故选C.5．已知复数z1＝3－bi，z2＝1－2i，若z1z2是实数，则实数b的值为()A．6B．－6C．0D.16【答案】A【解析】∵z1z2＝3－bi1－2i＝3－bi1＋2i1－2i1＋2i＝3＋2b＋6－bi5是实数，∴6－b＝0，即b＝6.6．(2014·江西理)z－是z的共轭复数．若z＋z－＝2，(z－z－)i＝2(i为虚数单位)，则z＝()A．1＋iB．－1－iC．－1＋iD．1－i【答案】D【解析】设z＝a＋bi，则z－＝a－bi.由题设条件可得a＝1，b＝－1.选D.7．设z＝1＋i1－i＋(1－i)2，则(1＋z)7等于()A．8－8iB．8＋8iC．－8＋8iD．－8－8i【答案】B【解析】z＝i＋(－2i)＝－i，∴(1＋z)7＝(1－i)7＝(1－i)[(1－i)2]3＝(1－i)×8i＝8＋8i.8．若复数z满足|z|－z＝101－2i，则z等于()A．－3＋4iB．－3－4iC．3－4iD．3＋4i【答案】D【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)∴a2＋b2－(a－bi)＝101－2i(a2＋b2－a)＋bi＝2＋4i∴a2＋b2－a＝2b＝4∴a＝3b＝4，∴z＝3＋4i.9．若复数z满足z－1＝3(1＋z)i，则z＋z2的值是()A．1B．0C．－1D．－12＋32i【答案】C【解析】由题意，z＝1＋3i1－3i＝1＋3i24＝－12＋32i，∴z2＋z＋1＝0，即z2＋z＝－1.10．复数z满足条件：|2z＋1|＝|z－i|，那么z对应点的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【答案】A【解析】设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|2x＋2yi＋1|＝|x＋yi－i|，即2x＋12＋4y2＝x2＋y－12，所以3x2＋3y2＋4x＋2y＝0.11．若z＝21－i，则z100＋z50＋1的值是()A．1B．－1C．－iD．i【答案】D【解析】z＝21－i＝1＋i2，∴z100＋z50＋1＝(1＋i2)100＋(1＋i2)50＋1＝(2i2)50＋(2i2)25＋1＝i50＋i25＋1＝i2＋i＋1＝i.12．复数z满足z＋|z－|＝2＋i，则z等于()A．－34iB.34－iC．－34－iD.34＋i【答案】D【解析】设z＝x＋yi，∴|z－|＝|z|＝x2＋y2，由题意知x＋x2＋y2＝2，y＝1，解得x＝34，y＝1，∴z＝34＋i.二、填空题(每小题4分，共16分)13．(2014·江苏)已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．【答案】21【解析】由题意z＝(5＋2i)2＝25＋2×5×2i＋(2i)2＝21＋20i，其实部为21.复数z＝a＋bi的实部为a，虚部为b.14．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i0，则实数x＝______.【答案】－2【解析】由(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i0，∴x2－10x2＋3x＋2＝0，∴x＝－2.15．若(x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)，则x＝________.【答案】2【解析】(x＋i)i＝－1＋xi＝－1＋2i，则x＝2.16．已知x2＋ix＋6＝2i＋5x，若x∈R，则x＝________；若x∈C，则x＝________.【答案】23－i或2【解析】当x∈R时，由复数相等的充要条件得x2－5x＋6＝0，x＝2，解得x＝2；当x∈C时，令x＝a＋bi(a，b∈R)，则有a2－b2－b＋6＝5a，2ab＋a＝2＋5b.解得a＝2，b＝0或a＝3，b＝－1.∴x＝2或x＝3－i.三、解答题(共74分)17．(本题满分12分)计算下列各题：(1)1－i1＋i2＋1＋i1－i2；(2)－1＋3i31＋i6＋－2＋i1＋2i.【解析】(1)1－i1＋i2＋1＋i1－i2＝1－i2i＋1＋i－2i＝－2i2i＝－1.(2)－1＋3i31＋i6＋－2＋i1＋2i＝(－1＋3i2i)3＋－2＋i1－2i5＝(－1＋3i2)3·(1i)3＋5i5＝i＋i＝2i.18．(本题满分12分)已知复数z1＝(a2－a)＋3ai，z2＝－2－a2i，问：当a为何实数时(1)z＝z1－z2为虚数．(2)z＝z1＋z2在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上．(3)z1z2.【解析】(1)z＝z1－z2＝(a2－a＋2)＋(3a＋a2)i因为z为虚数，所以3a＋a2≠0，所以a≠0且a≠－3.(2)z＝z1＋z2＝(a2－a－2)＋(3a－a2)i，依题意：a2－a－2＝0，3a－a20，所以a＝－1或a＝2，a3或a0，所以a＝－1.(3)因为z1z2，所以3a＝0，－a2＝0，a2－a－2.解得a＝0，a∈R，所以a＝0.19．(本题满分12分)已知复数z的共轭复数为z，且z·z－3iz＝101－3i，求z.【解析】设z＝a＋bi，∴z＝a－bi，∴z·z－3i·z＝(a2＋b2＋3b)－3ai＝101－3i＝1＋3i，∴a2＋b2＋3b＝1，－3a＝3，∴a＝－1，b＝0，或a＝－1b＝－3，∴z＝－1或z＝－1－3i.20．(本题满分12分)设存在复数z同时满足以下条件：①复数z在复平面内对应的点位于第二象限；②z·z＋2iz＝8＋ai(a∈R)．试求a的取值范围．【解析】设z＝x＋yi(x，y∈R)，由①得x0，y0，由②得x2＋y2＋2i(x＋yi)＝8＋ai，即x2＋y2－2y＋2xi＝8＋ai，由复数相等得x2＋y2－2y＝8，2x＝a.即x2＋y－12＝9，a＝2x.∵x2＋(y－1)2＝9表示以(0,1)为圆心，3为半径的圆，且x0，∴－3≤x0，∴－6≤2x0，即－6≤a0，∴a的取值范围是[－6,0)．21．(本题满分13分)已知复数z1＝i(1－i)3.(1)求|z1|；(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．【分析】第(2)小问应用数形结合方法求解较简单.【解析】(1)|z1|＝|i(1－i)3|＝|i|·|1－i|3＝22.(2)如图，由|z|＝1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O(0,0)的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1(2，－2)，所以|z－z1|的最大值可以看成是点Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知|z－z1|max＝|z1|＋r(r为圆半径)＝22＋1.【总结】复数的几何意义及复数加减的几何意义是数形结合思想的体现，可以解决复平面内对应点的位置、复数的运算、复数对应点的轨迹及求最值等问题．22．(本题满分13分)满足z＋5z是实数，且z＋3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z，若不存在，请说明理由．【解析】存在．设虚数z＝x＋yi(x、y∈R，且y≠0)．z＋5z＝x＋yi＋5x＋yi＝x＋5xx2＋y2＋y－5yx2＋y2i.由已知得y－5yx2＋y2＝0，x＋3＝－y.∵y≠0，∴x2＋y2＝5，x＋y＝－3.解得x＝－1，y＝－2，或x＝－2，y＝－1.∴存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足以上条件．