选修2-2导数的几何意义课时作业

课时作业3导数的几何意义时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴斜交【答案】B【解析】由导数的几何意义知，f(x)在(x0，f(x0))处切线的斜率k＝f′(x0)＝0.∴切线与x轴平行或重合．2．已知点P(－1,1)为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，若kPQ当Δx→0时的极限为－2，则在点P处的切线方程为()A．y＝－2x＋1B．y＝－2x－1C．y＝－2x＋3D．y＝－2x－2【答案】B【解析】由切线的定义，切线的斜率为－2，由点斜式得y－1＝－2(x＋1)，即y＝－2x－1.3．下列点中，在曲线y＝x2上，且在此点处的切线倾斜角为π4的是()A．(0,0)B．(2,4)C．(14，116)D．(12，14)【答案】D【解析】k＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0x＋Δx2－x2Δx＝limΔx→0(2x＋Δx)＝2x，∵倾斜角为π4，∴斜率为1.∴2x＝1，x＝12，故选D.4．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么()A．f′(x0)＞0B．f′(x0)＜0C．f′(x0)＝0D．f′(x0)不存在【答案】B【解析】由导数的几何意义可知f′(x0)＝－120，故选B.5．已知曲线y＝x3过点(2,8)的切线方程为12x－ay－16＝0，则实数a的值是()A．－1B．1C．－2D．2【答案】B【解析】k＝y′|x＝2＝limΔx→02＋Δx3－23Δx＝limΔx→0[12＋6Δx＋(Δx)2]＝12，所以过点(2,8)的切线方程为y－8＝12(x－2)，即y＝12x－16，所以a＝1.6．已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝()A．9B．6C．－9D．－6【答案】D【解析】y′＝4x3＋2ax，y′|x＝－1＝－4－2a＝8，∴a＝－6.二、填空题(每小题10分，共30分)7．曲线y＝2x2＋1在点P(－1,3)处的切线方程为________．【答案】y＝－4x－1【解析】Δy＝2(Δx－1)2＋1－2(－1)2－1＝2Δx2－4Δx，ΔyΔx＝2Δx－4，limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2Δx－4)＝－4，由导数几何意义知，曲线y＝2x2＋1在点(－1,3)处的切线的斜率为－4，切线方程为y＝－4x－1.8．若曲线y＝2x2－4x＋p与直线y＝1相切，则p的值为______．【答案】3【解析】设切点为(x0,1)，f′(x0)＝4x0－4，由题意知，4x0－4＝0，x0＝1，即切点为(1,1)，∴1＝2－4＋p，p＝3.9．下列三个命题：①若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线；②若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在；③若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率不存在．其中正确的命题是________．(填上你认为正确的命题序号)【答案】③【解析】寻找垂直于x轴的切线即可．三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(13分)已知曲线y＝1x，求：(1)曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)曲线过点Q(1,0)的切线方程；(3)满足斜率为－13的曲线的切线方程．【解析】(1)∵P(1,1)在曲线上，∴P为切点，∵y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→01Δx＋x－1xΔx＝limΔx→0－Δxxx＋ΔxΔx＝－1x2，所求切线方程的斜率是k1＝－1，∴曲线在点P(1,1)的切线方程为y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋2.(2)显然Q(1,0)不在曲线上，则设过该点的切线的切点为A(a，1a)，该切线的斜率是k2＝－1a2，则切线方程是y－1a＝－1a2(x－a)．①将点Q(1,0)代入方程①，得0－1a＝－1a2(1－a)，解得a＝12，故切线方程为y＝－4x＋4.(3)设切点为B(b，1b)，则切线的斜率为k3＝－1b2＝－13，解得b＝±3，∴B(3，33)或B(－3，－33)．∴所求的切线方程是y－33＝－13(x－3)或y＋33＝－13(x＋3)，即x＋3y－23＝0或x＋3y＋23＝0.11．(13分)已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．【解析】(1)∵y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0x＋Δx2＋x＋Δx－2－x2＋x－2Δx＝2x＋1，∴y′|x＝1＝3，所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3.设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点P(x0，x20＋x0－2)，则直线l2的方程为y－(x20＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)，∵l1⊥l2，∴3(2x0＋1)＝－1，x0＝－23.∴直线l2的方程为y＝－13x－229.(2)解方程组y＝3x－3，y＝－13x－229，得x＝16，y＝－52.又∵直线l1、l2与x轴交点分别为(1,0)、(－223，0)，∴所求三角形面积为S＝12×|－52|×(1＋223)＝12512.【规律方法】依题意，要求直线l2的方程，需求出直线l2的斜率和切点坐标，利用题设条件l1⊥l2求出直线l2的斜率k2，从而可求得l2的方程．12．(14分)已知函数f(x)＝ax2＋1(a0)，g(x)＝x3＋bx.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处有公共切线，求a，b的值．【分析】根据公共切线的特点，列方程组求a，b的值．【解析】因为f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx＝limΔx→0ax＋Δx2＋1－ax2－1Δx＝2ax，g′(x)＝limΔx→0gx＋Δx－gxΔx＝limΔx→0x＋Δx3＋bx＋Δx－x3－bxΔx＝limΔx→03x2Δx＋3xΔx2＋Δx3＋bΔxΔx＝3x2＋b，所以f′(1)＝2a，g′(1)＝3＋b.因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处有公共切线，所以f(1)＝g(1)，f′(1)＝g′(1)，即a＋1＝1＋b，2a＝3＋b，解得a＝3，b＝3.