选修2-2利用导数研究函数的极值课时作业

课时作业7利用导数研究函数的极值时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．函数f(x)在x＝x0处导数存在，若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则()A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【答案】C【解析】本题考查导数、极值点与充要条件等问题．∵x＝x0是f(x)的极值点，∴f′(x)＝0，即q⇒p，而由f′(x0)＝0，不一定得到x0是极值点，故p⇒/q，故选C.2．函数f(x)＝xlnx在[1，e]上的最小值和最大值分别为()A．0，elneB．－1e，0C．－1e，eD．0，e【答案】D【解析】f′(x)＝lnx＋1.当1≤x≤e时，f′(x)＝lnx＋10，故f(x)＝xlnx在[1，e]上是增函数．所以当x＝1时，f(x)取得最小值0；当x＝e时，f(x)取得最大值e.3．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有一个极大值点，两个极小值点【答案】C【解析】导函数f′(x)的图象共有四个变号零点，故函数f(x)有四个极值点．其中从左侧起第一个和第三个变号零点两侧都是由正到负，则在这两点处函数f(x)取得极大值；第二个和第四个变号零点两侧都是由负到正，则在这两点处函数f(x)取得极小值．4．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M，N，则M－N的值为()A．2B．4C．18D．20【答案】D【解析】令f′(x)＝3x2－3＝3(x2－1)＝0，得x＝±1，又x∈[0,3]，∴x＝1.则x∈(0,1)时，f′(x)0；x∈(1,3)时，f′(x)0.又f(0)＝－a，f(1)＝－2－a，f(3)＝18－a.∴M＝18－a，N＝－2－a，M－N＝20.5．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则函数f(x)的极值是()A．极大值为427，极小值为0B．极大值为0，极小值为427C．极大值为0，极小值为－427D．极大值为－427，极小值为0【答案】A【解析】由题意，得f(1)＝0，∴p＋q＝1①f′(1)＝3－2p－q＝0，∴2p＋q＝3②由①②得p＝2，q＝－1.∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝13或x＝1，f13＝427，f(1)＝0.6．(2014·辽宁理)当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是()A．[－5，－3]B．[－6，－98]C．[－6，－2]D．[－4，－3]【答案】C【解析】本题考查导数的应用、分离参数的方法、恒成立问题．原式等价于ax3≥x2－4x－3恒成立．当x＝0时式子恒成立．当x0时，a≥1x－4x2－3x3恒成立．令1x＝t，∵x∈(0,1]，∴t≥1.∴a≥t－4t2－3t3恒成立．令g(t)＝t－4t2－3t3，g′(t)＝1－8t－9t2对称轴t＝－818＝－49，∴函数g′(t)在[1，＋∞)上是减函数而且g′(1)＝－160，∴g′(t)0在[1，＋∞)上成立．∴g(t)在[1，＋∞)上是减函数，∴g(t)max＝g(1)＝－6.当x0时，a≤1x－4x2－3x3恒成立∵x∈[－2,0)，∴t≤－12，令g′(t)＝0，∴t＝－1，∴g(t)在(－∞，－1]上为减函数，在(－1，－12]上为增函数，∴g(t)min＝g(－1)＝－2，∴－6≤a≤－2.二、填空题(每小题10分，共30分)7．函数y＝x－2x在[0,4]上的最大值是__________，最小值是________．【答案】0－1【解析】y′＝1－1x，令y′＝0，得x＝1，f(0)＝0，f(1)＝－1，f(4)＝0，∴函数y＝x－2x在[0,4]上的最大值为0，最小值为－1.8．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值，又有极小值，则实数a的取值范围是________．【答案】a－1或a2【解析】f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)．令f′(x)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0.∵f(x)既有极大值又有极小值，∴f′(x)＝0有两个不相同的实数根．∴Δ＝4a2－4(a＋2)0.解得a2或a－1.9．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如下图所示，则下列说法中不正确的是________．①当x＝32时函数取得极小值；②f(x)有两个极值点；③当x＝2时函数取得极小值；④当x＝1时函数取得极大值．【答案】①【解析】从图象可以看出，当x∈(－∞，1)时，f′(x)0；当x∈(1,2)时，f′(x)0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)0，所以f(x)有两个极值点1和2，且当x＝2时函数取得极小值，当x＝1时函数取得极大值，只有①说法不正确．三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(13分)求函数f(x)＝x2ex的极值．【分析】首先对函数求导，求得f′(x)．然后求方程f′(x)＝0的根，再检验方程根的左右两侧导数f′(x)的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．【解析】函数的定义域为R.f′(x)＝2xex＋x2·ex＝ex·x(2＋x)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－2.当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2,0)0(0，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值4e2↘极小值0↗由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0.当x＝－2时，函数有极大值，且f(－2)＝4e2.11．(13分)(2014·江西理)已知函数f(x)＝(x2＋bx＋b)1－2x(b∈R)．(1)当b＝4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间(0，13)上单调递增，求b的取值范围．【解析】(1)当b＝4时，f(x)＝(x＋2)21－2x的定义域为(－∞，12)，f′(x)＝－5xx＋21－2x，由f′(x)＝0得x＝－2或x＝0.当x∈(－∞，－2)时，f′(x)0，f(x)单调递减；当x∈(－2，0)时，f′(x)0，f(x)单调递增；当x∈(0，12)时，f′(x)0，f(x)单调递减，故f(x)在x＝－2取极小值f(－2)＝0，在x＝0取极大值f(0)＝4.(2)f′(x)＝－x[5x＋3b－2]1－2x，因为当x∈(0，13)时，－x1－2x0，依题意当x∈(0，13)时，有5x＋(3b－2)≤0，从而53＋(3b－2)≤0.所以b的取值范围为(－∞，19]．12．(14分)设f(x)＝x3－12x2－2x＋5.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当x∈[－1,2]时，f(x)m恒成立，求实数m的取值范围．【解析】(1)由已知得f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，即3x2－x－2＝0，解得x＝1或x＝－23，∴当x∈(－∞，－23)时，f′(x)0，f(x)单调递增，当x∈(－23，1)时，f′(x)0，f(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，f(x)单调递增，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－23)和(1，＋∞)，单调递减区间(－23，1)．(2)当x∈[－1,2]时，f(x)m恒成立，只需使f(x)在[－1,2]上的最大值小于m即可．由(1)知f(x)极大值＝f(－23)＝52227，f(x)极小值＝f(1)＝72，又∵f(－1)＝112，f(2)＝7，∴f(x)在[－1,2]上的最大值为f(2)＝7，∴m7，即m的取值范围为(7，＋∞)．