选修2-2导数的实际应用课时作业

课时作业8导数的实际应用时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．一个箱子的容积与底面一边长x的关系为V(x)＝x2·(60－x2)(0x60)，则当箱子的容积最大时，x的值为()A．30B．40C．50D．60【答案】B【解析】V′(x)＝(30x2－12x3)′＝60x－32x2＝0，解得x＝40.2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件【答案】C【解析】令y′＝－x2＋810，解得0x9；令y′＝－x2＋810，解得x9，∴函数y＝－13x3＋81x－234在区间(0,9)上是增函数，在区间(9，＋∞)上是减函数，∴在x＝9处取极大值，也是最大值，故选C.3．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积最大值为()A．2πr2B．πr2C．4πr2D.12πr2【答案】A【解析】设内接圆柱的高为h，底面半径为x，则由组合体的知识得h2＋(2x)2＝(2r)2，又圆柱的侧面积S＝2πx·h，∴S2＝16π2(r2x2－x4)，(S2)′＝16π2(2r2x－4x3)，由(S2)′＝0，得x＝22r(x＝0舍去)，∴Smax＝2πr2，故选A.4．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为()A．3216B．3015C．4020D．3618【答案】A【解析】要求用料最省，则要求新砌的墙壁总长最短，设场地宽为x米，则长为512x米，因此新墙总长为L＝2x＋512x(x0)，则L′＝2－512x2，令L′＝0得x＝±16，又x0，∴x＝16，则当x＝16时，Lmin＝64，∴长为51216＝32(米)．5．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝－x3900＋400x，0≤x≤390，90090，x390.则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是()A．150B．200C．250D．300【答案】D【解析】∵总利润P(x)＝－x3900＋300x－20000，0≤x≤390，90090－100x－20000，x390，由P′(x)＝0，得x＝300，故选D.6．(2014·陕西理)如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()()A．y＝1125x3－35xB．y＝2125x3－45xC．y＝3125x3－xD．y＝－3125x3＋15x【答案】A【解析】本题考查导数的计算，切线的几何意义，函数的奇偶性．根据函数图象的特点，设函数y＝ax3＋cx，又∵函数在(－5,2)处切线平行于x轴，∴y′＝3ax2＋c，即3a×25＋c＝0，∴c＝－75a，故选A.二、填空题(每小题10分，共30分)7．已知轮船甲位于轮船乙的正东方向且距轮船乙75nmile处，以12nmile/h的速度向西行驶，而轮船乙则以6nmile/h的速度向北行驶，如果两船同时起航，那么经过________h两船相距最近．【答案】5【解析】设经过xh两船相距ynmile，则y2＝36x2＋(75－12x)2，令(y2)′＝72x－24(75－12x)＝0，可解得x＝5，易知当x＝5时，y2取得最小值．8．做一个无盖的圆柱形水桶．若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．【答案】3【解析】设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，∴L＝27R2，要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，∴S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π27R，由S′(R)＝2πR－54πR2＝0，得R＝3，则当R＝3时，S表最小．9．一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为1000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加50元，就会多一套租不出去，而租出去的公寓每月每套需花费100元维修费，则房租定为________元时可获得最多收入．【答案】1800【解析】设x套为没有租出去的公寓数，则收入函数f(x)＝(1000＋50x)(50－x)－100·(50－x)，∴f′(x)＝1600－100x，∴当x＝16时，f(x)取最大值，故把租金定为1800元时，收入最多．三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(13分)在高为H、底面半径为R的圆锥内作一个内接圆柱，问圆柱底面半径r为多大时，圆柱体积最大？【分析】圆柱内接于圆锥，求圆柱体积最大值，解答本题的关键是画出轴截面，建立圆柱体积与底面半径r的函数解析式，利用导数求函数的最大值．【解析】设圆柱底面半径为r、高为h、体积为V，在圆锥的轴截面△ABC中(如图)，∵HH－h＝Rr，∴h＝H(1－rR)，∴V＝πr2h＝πr2H(1－rR)＝πHr2－πHRr3(0rR)，V′＝2πHr－3πHRr2.令V′＝0得r＝23R(0rR)．由于在(0，R)内，函数只有一个极值点，根据题意最大值存在，所以当r＝23R时，体积最大且Vmax＝427πR2H.【规律方法】求几何体的面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，选择适当的量建立关于面积或体积的目标函数，然后利用导数求解．11．(13分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．【分析】根据自变量x和函数值C的实际意义以及题目的条件可知C(0)＝8.由此可求出f(x)的表达式，进而求f(x)的最小值．【解析】(1)设隔热层厚度xcm，由题意建筑物每年的能源消耗费用为C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，再由C(0)＝8得k＝40，故C(x)＝403x＋5(0≤x≤10)；又x厘米厚的隔热层建造费用为6x，所以由题意f(x)＝403x＋5×20＋6x＝8003x＋5＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－24003x＋52＝54x＋253x－53x＋52.令f′(x)＝0，得x＝5或x＝－253(舍去)，当x∈(0,5)时，f′(x)0，当x∈(5,10)时，f′(x)0，故x＝5时，f(x)取得最小值，且最小值f(5)＝6×5＋80015＋5＝70.因此当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小，且最小值为70万元．12．(14分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3x6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【解析】(1)因为x＝5时，y＝11，所以a2＋10＝11，所以a＝2.(2)由(1)可知该商品每日的销售量y＝2x－3＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)·[2x－3＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2,3x6，从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．令f′(x)＝0，得x＝4或x＝6.于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值为42单调递减由上表可得x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．