地下水动力学地下水流基本微分方程及定解条件(1)

第二章地下水流基本微分方程及定解条件基本理论：连续性假设+达西定律+水均衡原理对各种水流问题建立基本微分方程及数学模型：●按空间维数：一维、二维（平面二维、剖面二维）、三维●按含水层类型：承压水流、潜水流、多层（越流联系）等求解数学模型（利用解析法），得到一些典型解析解：●裘布依稳定井流模型●无越流承压含水层中的完整井流（泰斯模型）●无越流潜水含水层中的完整井流（博尔顿模型-考虑滞后给水、纽曼模型-考虑流速垂直分量和弹性储量）●越流系统中的承压完整井流模型应用：●预测抽水条件下的水头变化；●利用抽水试验资料求含水层参数。第二章地下水流基本微分方程及定解条件教学目标：准确理解渗流连续性概念掌握达西定律和质量守恒原理的应用掌握建立地下水基本微分方程的思想方法几种典型的地下水流方程的推导●潜水剖面二维流、平面二维流●承压水二维流●三维流边界条件概化，初始条件确定方法与原则能够用数学模型描述实际问题第二章地下水流基本微分方程及定解条件主要内容：建立连续性方程分析含水层与岩石、流体压缩性关系建立不同含水层地下水流微分方程讨论边界条件及初始条件用数学模型描述实际问题2.1水和多孔介质的压缩性水的压缩方程（地下水的状态方程)0)(00000ln)(1VVeVVppdVVdpppVVppdpdVVVdVdp11假定水近似地符合弹性变形，依虎克定律，有p为水压；V为水的体积；β为水的体积弹性压缩(或膨胀)系数E为体积弹性模量。V随p增大而减小，即dV/dp0积分1E压缩系数：单位压力变化时引起的液体单位体积的变化量，单位为平方米每牛。其倒数为体积模量，单位为帕斯卡。水体压缩系数与压力和温度有关。水的压缩方程0()22323()23000(0)(0)(0)()()1!2!!1...2!3!1()()()...2!3!nnxppffffxfxxxxnxxexepppppp)()](1[)(1)(100000000)(0ppVVppVVppVVppepp0)(0VVepp按Taylor级数展开由于很小，且p变化不大，故)()()(00000000ppVVppVVVppVVV水的压缩方程pVV0pVVVdVdp11(15)dddpdp由于V~V0变化不大，故由于ddmmdVdVmV)1()(水的压缩方程多孔介质的压缩方程vbvsbbbdVdVVVVVdVdpdpd1bbVdVd1假定多孔介质近似地符合弹性变形，依虎克定律，有α为岩土的体积弹性压缩系数。如果上部荷载不变，则由于骨架部分体积不变Vv＝nVb；Vs＝(1-n)Vb111svsvbbsvdVdVdVdVnnVdVdVdVdVv＝nVb；Vs＝(1-n)Vb式中——多孔介质固体颗粒压缩系数，表示多孔介质中固体颗粒本身的压缩性的指标，sp；——多孔介质中孔隙压缩系数（Compressibilityoftheporesofaporousmedium），表示多孔介质中孔隙的压缩性的指标。n——多孔介质的孔隙度。1-8因，故。1-9说明本节假设：假定多孔介质变形符合弹性规律，对研究含水层释水时可用；但对研究地面沉降问题时，应用有所差异。水的压缩方程pVVVdVdp1dpd多孔介质的压缩方程)1(epedHdpbbVdVd1测压水头图2-2-1饱和含水介质中受力情况2.2水和多孔介质的压缩性spphp•地下水弹性储存概念取一典型处于平衡状态的饱和地层柱体来研究，这里只考虑垂直一维压密，忽略侧面上粒间力(包括内聚力和摩擦力)的作用。含水层上覆岩土体、地表建筑物和大气压力等荷载形成的总压应力由粒间应力的垂向分量s和孔隙水应力p两者来平衡.ps)1(为单位水平面积中颗粒间接触面积的水平投影.由于1，令（K.Terzaghi)pps)1(测压水头图2-2-1饱和含水介质中受力情况Terzaghi有效应力公式'phpp'p多孔介质总应力有效应力孔隙水应力ppps)1(有效应力公式分析p减少地下水体积膨胀，从而释放出部分地下水；p减少地下水对上覆岩土体浮力降低，为维持平衡，这部分力将转嫁到多孔介质固体骨架上，增大有效应力，压缩多孔介质，结果使含水层介质厚度变薄和空隙率n变小，同时从孔隙中释放地下水；p减少多孔介质固体颗粒也会膨胀,而有效应力增大又会影响固体颗粒的变形。综合起来，这种现象比较复杂。考虑到固体颗粒的压缩性比多孔介质要小得多，因此通常忽略多孔介质固体颗粒的压缩性。水压p减少，将引起以下作用:地下水弹性储存物理意义：弹性储存与重力储存不同；给水机制不同弹性储存更宜理解为“变形储存”；弹性储存这种性质不仅承压含水层具备，层间弱透水层也有弹性储存弹性储存：当地下水水头（水压）降低(或升高）时，含水层、弱透水层释放（或储存）地下水的性质因Vs=constant，故只在垂直方向上有压缩，故上两式表示垂直厚度变化、孔隙度变化与水的压强变化的关系。水头降低时含水层释出水的特征，取面积为1m2、厚度为lm(即体积为lm3)的含水层，考察当水头下降1m时释放的水量。此时，有效应力增加了H＝g×1=g。介质压缩体积减少所释放出的水量（dVb）为与水体积膨胀所释放出的水量（dV）之和（1-12）（1-13）bbVdVd1上述二者之和所释放出的水量为或式中s——贮水率[释水率]（specificstorativity），量纲[L-1]，为弹性释水[贮水]；式中M——含水层厚度(m)；*——贮水系数（storativity）。*=sM贮水系数*和贮水率s都是表示含水层弹性释水能力的参数，在地下水动力学计算中具有重要的意义。（1-14）贮水率表示含水层水头变化一个单位时，从单位体积含水层中，因水体积膨胀（压缩）以及骨架的压缩（或伸长）而释放（或储存）的弹性水量。单位1/L。贮水系数又称释水系数或储水系数，为含水层水头变化一个单位时，从底面积为一个单位，高度等于含水层厚度的柱体中所释放（或贮存）的水量；指面积为一个单位、厚度为含水层全厚度M的含水层柱体中，当水头改变一个单位时弹性释放或贮存的水量，无量纲。既适用于承压含水层，也适用于潜水含水层。贮水率是描述地下水三维非稳定流或剖面二维流中的水文地质参数，既适用于承压水也适用于潜水。对于平面二维非稳定流地下水运动，当研究整个含水层厚度上的释水情况时，用贮水系数来体现。上述两参数之间的不同，还在于潜水含水层存在滞后疏干现象。弹性释水与重力给水:对于含水层而言，由于受埋藏条件的限制，抽水时，水的给出存在着不同。潜水含水层在抽水过程中，大部分水在重力作用下排出，疏干作用于水位变动带（饱水带）和包气带两部分，由于包气带的存在，使得饱水带中水的释放存在延滞和滞后现象。当水头下降时，可引起二部分水的排出。在上部潜水面下降部位引起重力排水，用给水度表示重力排水的能力；在下部饱水部分则引起弹性释水，用贮水率*表示这一部分的释水能力。必须区分两者之间的不同，潜水含水层还存在滞后疏干现象。承压含水层抽水时，水的释放是由于压力减少造成的，这一过程是瞬时完成的。只要水头下降不低到隔水顶板以下，水头降低只引起含水层的弹性释水，可用贮水系数*表示这种释水的能力。导压系数描述含水层水头变化的传导速度的参数，其数值等于含水层的导水系数与贮水系数之比或渗透系数与贮水率之比。量纲为L2T-1。2.2渗流连续性方程水均衡的基本思想：对某一研究对象，流入－流出＝V研究对象可以是大区域的，也可以是微分单元体大区域的水均衡计算经常用于区域的水资源评价本课程基于微分单元体做水均衡，推导渗流连续性方程。连续性方程就是质量守恒方程，也称为水均衡方程为反映含水层地下水运动的普遍规律，我们选定在各向异性多孔介质中建立地下三维不稳定流动连续性方程。X方向流入tvVmtvtQVX方向流出X方向流入流出差tzyvtzyvtzyxxxtzyxx),,,(),,,(|)(|)(图2-1-1多孔介质单元水均衡要素图假设：水是可压缩的，多孔介质骨架在垂直方向可压缩，但在水平方向不可变形。均衡的含义：在t时段内从x,y,z三个方向共6个单元界面上流入流出水的净总质量等于单元体内储存量的变化。渗流连续性方程推导X方向流入流出差tzyvtzyvtzyxxxtzyxx),,,(),,,(|)(|)(y方向流入流出差z方向流入流出差tzxvtzxvtzyyxytzyxy),,,(),,,(|)(|)(tyxvtyxvtzzyxztzyxz),,,(),,,(|)(|)(单元体内地下水质量变化量yxznznmtzyxttzyx]|)(|)[(),,,(),,,(zyxnVm渗流连续性方程推导X方向流入流出差0)(|)(|)(),,,(),,,(xtzyxxvtzyxxvvxtzyxxxtzyxxy方向流入流出差z方向流入流出差0)(|)(|)(),,,(),,,(ytzyxyvtzyxyvvytzyyxytzyxy单元体内地下水质量变化量0)(|)(|)(),,,(),,,(ttyxtzntyxtznzntzyxttzyx0)(ztzyxzvz地下水连续性方程yxtznzyxzvyvxvzyx)()()()(渗流连续性方程yxtznzyxzvyvxvzyx)()()()(dpd水和多孔介质的压缩方程dHdp总水头和孔隙水压力关系意义：反映了渗流场内任何一个“局部”所必须满足的质量守恒定律。2.3渗流基本微分方程本节：利用达西定律，并综合上述各式，将渗流连续性方程转化为以水头H为因变量的渗流基本微分方程。（一）化简yxtznzyxzvyvxvzyx)()()()(tzyxn)(渗流连续性方程化简由含水层状态方程，==zyxtpn)()(因为所以有，Z为定值，则则可得到：（1-70）（1-69）dpd于是连续性方程（1-65）变为：则:令则1-65式变为：则有：即：1-65式变为：yxtznzyxzvyvxvzyx)()()()(（二）化简方程左端项当渗流满足达西定律，且取坐标与各向异性主轴方向一致，有zHKvyHKvxHKvzzzyyyxxxxHKxxHKxxHKxxHKxxHKxxvxxxxxxxxxxx)]([)()(由于在一般情况下，水的密度变化很小，可视近似不变，故)()(xHKxxvxxx渗流连续性方程化简yxtznzyxzvyvxvzyx)()()()(（二）化简方程左端项zHKvyHKvxHKvzzzyyyxxx同理)()()()(zHKzzvyHKyyvzzzyyy)()(xHKxxvxxx