傅里叶级数简介分解

9.4傅里叶级数高州师范学院9.4傅里叶级数简介9.4傅里叶级数高州师范学院三角函数系1,cos,sin,cos2,sin2,,cos,sin,.xxxxnxnx函数列称为三角函数系2.,[-,].是三角函数系中每个函数的周期因此只需在一个周期上讨论即可9.4傅里叶级数高州师范学院三角级数系的正交性ππππππππππ1)[,],cosdsind0,coscosd0(),sinsind0(),cossind0.nxxnxxmxnxxmnmxnxxmnmxnxx任何两个的函数的不相乘积在上的积同分等于零即πππ222πππ2)[,],cosdsindπ,1d2πnxxnxxx任何两个的函数的乘积相在上的积分不等于零同即,.三角函数系具有的上述性质称为三角函数系的或者说三角函数正交性正交是函数系系.正交性是三角函数系优越性的源泉9.4傅里叶级数高州师范学院三角级数0101,cos,sin,cos2,sin2,,cos,sin,(cossin)2,,,.nnnnnxxxxnxnxaanxbnxaab以三角函数系为基础所做成的函数项三角级数级数称为其中都是常数9.4傅里叶级数高州师范学院()[,],1()cos,(0,1,2,)1()sin,(1,2,)().nnfxafxnxdxnbfxnxdxnfx若函数在区间傅里可叶积则称是函系数数的01()(cossin) ()2.nnnfxaanfxxbnx以函数的傅里叶系数为系数的三角级傅里数称为函数叶级数的(),(,)fxfx一般来说,的傅里叶级数收敛即使收敛收必敛到未必也未(),,)(fxfx因此类似于及其泰勒级数的记法我们将的傅里叶级数记为01()(cossin)2nnnafxanxbnx9.4傅里叶级数高州师范学院函数项级数幂级数三角级数泰勒级数傅里叶级数9.4傅里叶级数高州师范学院:()[]()[].fxa,bfxa,b定义若函数在区间除有限个第一类间断点外皆连续，则称数在逐段连续函()(),()[].fxfxfxa,b定义:若函数与它的导函数逐段都逐段连续则称函光滑数在[,],[,].ffabfab特别的，的导函数在上连称在上光滑续9.4傅里叶级数高州师范学院,[,],,ab从几何图形上讲在区间上逐段光滑函数是由有限个光滑弧段所组成它至多有有限个第一类间断点与角点.例如：Oxb()yfx1x2xa3x4xy,:(1)()[,];(2)[,](0).fxababfx由逐段光滑的定义可知逐段光滑的函数具有如下性质在上可积在上每一点都存在9.4傅里叶级数高州师范学院傅里叶级数的收敛定理:()2[,],1R,[(0)(0)].2fxRfxfx定理若函数是上以为周期的在的函数则函数的傅里叶级数在收敛其和函数是逐段光滑01[,],(0)(0)(cossin)22nnnxafxfxanxbnx即有(1)(),().xfxfx连续注：当是的时级数收敛于点()().fxRRfx即函数是上以2为周期的在[-,]的函数，则函数的傅里叶级数在上收敛，其和函数是光滑(2)(),().xfxfxx当是的时级数收敛于在点的左、右极限的断点平均值间(-0)(0)(3)=2ffxx特别地，当为端点时，级数收敛于。9.4傅里叶级数高州师范学院22,2,[-,]2,,1()cos,(0,1,2,)1()sin,(1,2,)nncnccncfabafxnxdxncRbfxnxdxn注意1:根据收敛定理的假设是以为周期的函数所以系数公式中的积分区间可以改为长度为的任何区间而不影响的值：,(-][-),(-](.-]注意2:在具体讨论函数的傅里叶级数展开式时经常只给出函数在，或，上的解析式但应理解为它是定义在整个数轴上以2为周期的函数.即在，以外的部分按函数在，上的对应关系做周期延拓,.也就是说函数本身不一定是定义在整个数轴上的周期函数但我们认为它是周期函数9.4傅里叶级数高州师范学院Ox()yfxπ3ππ3π5πy9.4傅里叶级数高州师范学院求傅里叶级数的步骤:0(1),,;1()cos,(0,1,2,)1()sin,(1,2,)nnnnaabafxnxdxnbfxnxdxn按公式算傅里叶系数(3).用收敛定理判断其和函数01(2)(cossin)2nnnaanxbnx代入三角级数生成傅里叶级数:9.4傅里叶级数高州师范学院0,02()1,0xfxx将下列函数展成傅里叶级数：例：0011(1:)afxdxdx解0cos11()cos0,1,2,3,...nnafxnxxdxnxd0111()sinc0sinosnbfxnxdnxxdxnxn2,0,nnn是奇数是偶数12sin3sin(21)()sin......,0||2321xnfxxxn所以有(00)(00)1010,222ffx当时傅里叶级数收敛于(0)(0),2ffx当时傅里叶级数收敛于(0)(0)2ff011229.4傅里叶级数高州师范学院奇偶函数的傅里叶级数01()(cossin)21()cos,(0,1,2,)1()sin,(1,2,)nnnnnafxanxbnxafxnxdxnbfxnxdxn由函数生成的傅里叶级数的系数分别为(),20nfxb若是以为周期的偶函数则必有,,因此偶函数的傅里叶级数只含余弦项亦称余弦级数(),20nfxa若是以为周期的奇函数则必有,,因此奇函数的傅里叶级数只含正弦项亦称正弦级数