-平面向量复习基本知识点及经典结论总结

1平面向量()①向量②零向量③单位向量一、向量的基本概念内容④相等向量⑤相反向量⑥平行向量①几何表示法二、向量的表示表示方法②符号表示法③坐标表示法①共线定理②共线定理应用向量③不共线定理应用④实数与向量的积⑤平面向量的数量积三、平面向量的基本定理⑥向量的运算⑦向量的运算律⑧向量平行共线的充要条件⑨向量垂直的充要条件⑩平移公式四、平面向量的基①在几何中的应用②在解析中的应用本应用③在解斜三角形的应用④在物理中的应用学习方法：①理论意义、实际意义；②基本概念，知识网络，思想方法，基本技巧；③五步学习法：讲清内容，整理内容，课后练习，讲解练习，总结练习；④基本考点：a、向量的运算及其几何意义；b、向量的线性运算；c、共线问题；e、基本定理应用及其向量分解；d、坐标表示及其运算；f、平行问题的坐标表示；g、数量积的运算；h、夹角问题；i、模长及垂直条件；j、在平面几何中应用；k、在解析几何中的应用；l、在解三角形中的应用；m、在物理中的应用；一、向量有关概念：①向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，向量可以平移；②零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；作用:１、解决矛盾；２、零向量和任何非零向量平行；３、一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量；③单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是||ABAB)；单位化2④相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；大小和方向有关，与位置无关；⑤相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a；⑥平行向量（共线向量）：１、方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量；２、记作：a∥b零向量和任何非零向量平行；３、两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；４、平行向量无传递性！（因为有0)；５、三点ABC、、共线ABAC、共线；⑦相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；a、向量的运算及其几何意义：例１、下列命题：①若ab，则ab；②两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同；③若ABDC，则ABCD是平行四边形；④若ABCD是平行四边形，则ABDC；⑤若,abbc，则ac；⑥若//,//abbc，则//ac；其中正确的是_______例２、下列命题正确是：①若0a，则0a；②若非零向量a与b方向相同或相反，则ab与,ab之一的方向相同；③若0a，则0a；④若ab，则ab或ab；⑤若ab，则ab；⑥若abc，则ac；⑦ababa与b方向相同；⑧向量b与向量a共线的充要条件是有且仅有只有一个实数，使得ba；⑨0ABBA；⑥若ab，则ab；b、向量的线性运算：“三角形法则”和“平行四边形法则”例３、已知ABC中，点D在BC边上，且DBCD2，ACsABrCD，则sr的值是___例４、已知,ADBE分别是ABC的边,BCAC上的中线,且,ADaBEb,则BC可用向量,ab表示为_____例５、边长为1的正三角形ABC中，设2,3BCBDCACE，则ADBE？c、共线问题：例６、已知,,,,OAaOBbOCcODdOEe，设tR，如果3,2,acbdetab，那么t为何值时，CDE、、三点在一条直线上？例７、如图1，已知点G是ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且AMxAB，ANyAC，则113xy。例１、④⑤例２、①例３、解:用零向量解决矛盾ABCMNG图13,2()()()(22)()0,220CDrABsACCDDBCDrADDBsADDCrsADrDBsDCsrDBrsADrssr例４、解:111124,.()()222233ADaBEbBCBEECbACbADDCbaBCBCab例５、解：设,CAaCBb，则1,,60abab，由题意，得11,23ADACCDabBEBCCEab，221171cos,3264ADBEababab例６、解：23,(3)CDdcbaCEectatb，CDE、、三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得CEkCD，即332tatbkakb，整理得332tkaktb；当,ab共线，则t可为任意实数；当,ab不共线，则有3306205tkttk；综上，t任意，共线，65t，不。例７、点G是ABC的重心，知GAGBGCO，得()()AGABAGACAGO，有1()3AGABAC。又M，N，G三点共线（A不在直线MN上），于是存在,，使得(1)AGAMAN且，有AGxAByAC=1()3ABAC，得113xy，于是得113xy。二、向量的表示方法：①几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；②符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；③坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为,axiyjxy，称,xy为向量a的坐标，a＝,xy叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。d、坐标表示及其运算；例１、若(1,1),ab(1,1),(1,2)c，则c______例２、如平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点)1,3(A,)3,1(B,若点C满足OCOBOA21,其中R21,且121,则点C的轨迹是_______e、基本定理应用及其向量分解：例３、给定两个长度为１的平面向量OA和OB，它们的夹角为120.如图，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若OCxOAyOB，其中,xyR，则xy的最大值是？例４、已知O是ABC的外心，2,1,120ABACABC.若12AOABAC，则12？例１、解：baccbabac2321232121)2,1(),1,1(),1,1(,4例２、向量PAPBPC、、中三终点ABC、、共线存在实数、使得PAPBPC且1.直线AB例３、解：方法一、设AOC，则OCOAxOAOAyOBOAOCOBxOAOByOBOB，即1cos21cos(120)2xyxy所以2coscos120cos3sin2sin26xy.方法二、将向量式OCxOAyOB两边平方，得222221()3OCxOAyOBxyxyxyxy，因为214xyxy，故211,224xyxy.方法三、以直线OA为x轴，过O垂直于OA的直线为y轴建立平面直角坐标系，则131,0,,,,22ABC代入OCxOAyOB可得13,,22xyy，即11232332xxyy，2211,,1,0,12，所以由柯西不等式，得22223132xy.方法四、设AOC，作平行四边形OECD，则OCOEOD.设,,OExODy在OCE中使用正弦定理得11sin60sin2sin60sinsin60sin60sin60xyxy方法五、1cos1202OAOBOAOB，设OC与AB的交点为M，1OMOAOB，则由10OCtOMtOAOBt，得xyt，且两边取模并平方整理得21331t故maxmax2ttt.方法六、设2cos,sin0,3C，cos3sin2sin26xy，当3时，2xy.例４、已知O是ABC的外心，2,1,120ABACABC.若12AOABAC，则12？解：方法一、点乘法：12AOABAC两边同时乘以,ABAC得212212AOABABACABAOACABACAC，即12122cos4cosROABROAC，所以11212122512413614623RRRR.方法二、坐标法：以A点为原点，以CA及其垂直平分线所在的直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系.由余弦定理得7BC，再由正弦定理得72sin3BCRAORA，12AD，所以536OD，5即153153,,2626OAO，而1,3,1,0,1,3BACAB，121,3AO，于是121125162543363，所以12136.三、平面向量的基本定理：共线和不共线定理①共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得ab。ⅰ、提供证明共线或平行的方法。ⅱ、定比分点坐标公式，中点坐标公式，重心公式。f、平行问题的坐标表示；例１、已知ABC和点满足0MAMBMC，若存在实数m使得ABACmAM成立，则m３例２、已知点(2,3),(5,4)AB，(7,10)C，若()APABACR，则当＝____时，点P在第一、三象限的角平分线上。例３、若D为ABC的边BC的中点，ABC所在平面内有一点P，满足0PABPCP，设||||APPD，则？例１解：由0MAMBMC知，点M为ABC的重心，设D为边BC的中点，则向量加法可知2ABACAD。由重心的性质可知：23AMAD，而且AM与AD同向，故21,333AMADABACABACAM。例２、答：12；例３、（答：2）；②共线定理应用：１、定比分点的概念：设点P是直线21,pp上异于21,pp的任意一点，若存在一个实数，使12PPPP，则叫做点P分有向线段12PP所成的比，P点叫做有向线段12PP的以定比为的定比分点；２、的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段12PP上时0；当P点在线段12PP的延长线上时1；当P点在线段21PP的延长线上时10；当P分有向线段12PP所成的比为，则点P分有向线段21PP所成的比为1。３、线段的定比分点公式：设111(,)Pxy、222(,)Pxy，(,)Pxy分有向线段12PP所成的比为，则121211xxxyyy，ⅰ、当1时，就得到线段12PP的中点公式121222xxxyyy。在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,)xy，11(,)xy、22(,)xy的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比。6ⅱ、