对数函数高考复习

第五节对数函数考纲考情三年4考高考指数:★★☆☆☆1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用2.理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点,会画底数为2,10,的对数函数的图象3.体会对数函数是一类重要的函数模型4.了解指数函数y=ax(a0,且a≠1)与对数函数y=logax(a0,且a≠1)互为反函数12三年考题13年(1考):新课标全国卷ⅡT812年(2考):湖南T8江苏T511年(1考):天津T7考情播报1.对数的运算性质、对数函数的图象与性质是高考的热点2.常与函数的单调性、最值、零点等性质以及方程、不等式等知识交汇命题,考查分类讨论,函数与方程,转化与化归、数形结合思想3.题型以选择、填空题为主,属中低档题【知识梳理】1.对数的定义(1)对数的定义:①请根据下图的提示填写与对数有关的概念:②其中a的取值范围是:___________.指数对数幂真数底数a0,且a≠1(2)两种常见对数:对数形式特点记法常用对数底数为_______自然对数底数为______10lgNelnN2.对数的性质、换底公式与运算性质性质①loga1=__,②logaa=__,③=__(a0且a≠1)换底公式logab=(a,c均大于0且不等于1,b0)运算性质如果a0,且a≠1,M0,N0,那么:①loga(M·N)=___________②loga=___________③logaMn=______(n∈R)alogNacclogblogaMN01NlogaM+logaNlogaM-logaNnlogaM3.对数函数的定义、图象与性质定义函数_______(a0,且a≠1)叫做对数函数底数a10a1图象y=logax定义域________值域__性质当x=1时,y=0,即过定点______当0x1时,y0;当x1时,____当0x1时,____;当x1时,____在(0,+∞)上是_______在(0,+∞)上是_______(0,+∞)R(1,0)y0y0y0增函数减函数4.反函数指数函数y=ax(a0,且a≠1)与对数函数_______(a0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线____对称.y=logaxy=x【考点自测】1.(思考)给出下列命题:①logax2=2logax;②函数y=log2(x+1)是对数函数;③函数y=与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同;④若logamlogan,则mn,其中正确的命题有()A.①③B.③C.②③D.④1xln1x【解析】选B.①错误,logax2=2loga|x|,②错误,不符合对数函数定义.③正确,函数y=的定义域为(-1,1),而函数y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域亦为(-1,1).④错误,当a1时成立,而0a1时不成立.1xln1x2.(2013·陕西高考)设a,b,c均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是()A.logab·logcb=logcaB.logab·logca=logcbC.loga(bc)=logab·logacD.loga(b+c)=logab+logac【解析】选B.由对数的运算性质：loga(bc)=logab+logac,可判断选项C，D错误；选项A,由对数的换底公式知，logab·logcb=logca⇒⇒lg2b=lg2a,此式不恒成立，故错误;对选项B,由对数的换底公式知，logab·logca故恒成立.lgblgblgalgalgclgcclgblgalgblogb,lgalgclgc3.下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为()A.y=cos2x,x∈RB.y=log2|x|,x∈R且x≠0C.y=,x∈RD.y=x3+1,x∈R【解析】选B.y=log2x(x0)是增函数,又y=log2|x|,x∈R且x≠0的图象关于y轴对称,故是偶函数.xxee24.若函数y=f(x)是函数y=ax(a0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)等于()A.B.2x-2C.D.log2x【解析】选D.由题意知f(x)=logax,又f(2)=1,所以loga2=1,所以a=2,所以f(x)=log2x.x1212logx5.(2014·长沙模拟)已知则()A.abcB.bacC.acbD.cab324log0.3log3.4log3.61a5,b5,c()5，【解析】选C.如图所示，结合指数函数的单调性可知选项C正确.3310loglog0.331c()c5,5可化为6.(2013·四川高考)lg+lg的值是_______.【解析】答案：1520lg5lg20lg1001.考点1对数的运算【典例1】(1)(2014·威海模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),且x∈(-1,0)时，f(x)=2x+,则f(log220)=()A.1B.C.-1D.-(2)lg25+lg2-lg-log29×log32的值是________.154545120.1【解题视点】(1)根据函数的性质及对数运算性质将待求值调节到(-1,0)上求值.(2)根据对数运算性质进行计算.【规范解答】(1)选C.由f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),可知函数为奇函数，且f(x+4)=f(x),所以函数的周期为4，4log2205,0log220-41,即log220-4=log2.所以f(log220)=f(log220-4)=f(log2)=-f(-log2)=-f(log2)，因为-1log20,所以f(log2)=所以f(log220)=-f(log2)=-1.(2)原式=lg5+lg2-lg10-2log23×log32=1+-2=-.答案：-54545445454524log514121,5554512121212【规律方法】对数运算的一般策略(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算性质化简合并.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.提醒:在运算中要注意对数化同底和指数与对数的互化.【变式训练】(2014·济南模拟)设函数f(x)=则f(f(-1))=_______.【解析】f(-1)=2-1=,所以f(f(-1))=f()=log2=-1.答案：-1x22,x0,logx,x0,121212【加固训练】1.(2013·宝鸡模拟)计算:(lg2)2+lg2·lg5+lg5=.【解析】原式=lg2(lg2+lg5)+lg5=lg2+lg5=1.答案:12.(2014·保定模拟)设2a=5b=m，且=2，则m=______.【解析】因为2a=5b=m,所以a=log2m,b=log5m,所以=logm2+logm5=logm10=2,所以m2=10,m=.答案：11ab251111ablogmlogm10103.已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n.【解析】因为loga2=m,loga3=n,所以am=2,an=3,所以a2m+n=(am)2·an=22×3=12.考点2对数函数的图象及其应用【典例2】(1)(2014·大连模拟)已知lga+lgb=0(a0且a≠1,b0且b≠1),则函数f(x)=ax与g(x)=-logbx的图象可能是()(2)(2014·南京模拟)已知实数a0,f(x)=若方程f(x)=-a2有且仅有两个不等实根，且较大实根大于2，则实数a的取值范围是________.【解题视点】(1)根据条件将b用a表示,进而根据f(x)=ax与g(x)=-logbx的解析式关系确定图象.(2)作出函数y=f(x)+a2的图象,数形结合求解.212x2ax,x1,logx,x1.3434【规范解答】(1)选B.因为lga+lgb=0，即lgab=0,所以ab=1,得b=,故g(x)=-logbx=-logx=logax,则f(x)与g(x)互为反函数，其图象关于直线y=x对称，结合图象知，B正确.1a1a(2)根据题意，作出函数y=f(x)+的图象，发现：当x1时，函数的图象是由y=logx的图象向上平移个单位而得，它与x轴必有一个交点，且交点的横坐标大于1；而x≤1时的图象是抛物线的一部分，各段图象如图，23a41223a4若方程f(x)=-有且仅有两个不等实根，且较大实根大于2，则有：解得即a≤2,所以实数a的取值范围是(，2].答案：(，2]23a42122123y12aa0,43ylog2a0,42a2,323a,3233233233【互动探究】若本例(2)中的条件变为：“已知函数f(x)=且关于x的方程f(x)-a=0有两个实根”,则实数a的范围如何？【解析】当x≤0时，02x≤1,由图象可知方程f(x)-a=0有两个实根，即y=f(x)与y=a的图象有两个交点，所以由图象可知0a≤1.2xlogx,x0,2,x0,【易错警示】注意图象的准确性利用对数函数图象求解对数型函数性质及对数方程、不等式等问题时切记图象的范围、形状一定要准确,否则数形结合时将误解.【规律方法】利用对数函数的图象可求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想求解.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.【变式训练】(1)(2014·郑州模拟)当0x≤时，4xlogax,则a的取值范围是()A.(0，)B.(，1)C.(1，)D.(，2)12222222【解析】选B.由0x≤,且logax4x0,可得0a1,由可得a=令f(x)=4x,g(x)=logax,若4xlogax,则说明当0x≤时，f(x)的图象恒在g(x)图象的下方(如图所示)，此时需a.综上，可得a的取值范围是(，1).1212a14log22,2122222(2)函数y=log2|x+1|的单调递减区间为,单调递增区间为.【解析】作出函数y=log2x的图象,再将其关于y轴对称,两支共同组成函数y=log2|x|的图象,再将图象向左平移1个单位长度就能得到函数y=log2|x+1|的图象(如图所示).由图知,函数y=log2|x+1|的单调递减区间为(-∞,-1),单调递增区间为(-1,+∞).答案:(-∞,-1)(-1,+∞)【加固训练】1.已知函数f(x)=lnx,g(x)=lgx,h(x)=log5x,直线y=a(a0)与这三个函数图象的交点的横坐标分别是x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是()A.x2x3x1B.x1x3x2C.x1x2x3D.x2x1x3【解析】选A.在同一坐标系中画出三个函数的图象及直线y=a(a0),易知x1x3x2,故选A.2.(2014·太原模拟)已知函数若a,b,c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则abc的取值范围是()A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)|lgx|,0x10,fx1x6,x10,2【解析】选C.作出f(x)的大致图象.不妨设abc,因为a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),由函数的图象可知10c12,且|lga|=|lgb|,因为a≠b,所以lga=-lgb,可得ab=1,所以abc=c∈(10,12),故选C.3.(2014·兰州模拟)已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[-1,1]时