浅谈构造法在中学数学解题中的应用

..浅谈构造法在中学数学解题中的应用富源六中范文波[摘要]：现代数学素质教育要求大力提高学生的数学素养，这不仅要使学生掌握数学知识，而且要使学生掌握渗透于数学知识中的数学思想方法，使他们能用数学知识和方法解决实际问题。构造法作为一种数学方法，不同于一般的逻辑方法，它是一步一步寻求必要条件，直至推导出结论，它属于非常规思维。其本质特征是“构造”，用构造法解题，无一定之规，表现出思维的试探性、不规则性和创造性。本文主要通过大量的例题说明构造法是广泛存在于解题过程中的，而且对于解某些问题是非常有用的.[关键词]：构造法；创造性；构造；几何变换1前言解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手。在这种情况下,经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径。构造法就是这样的手段之一.构造的数学思想提炼于数学各分支的研究方法之中，它融直观性、简单性、统一性、抽象性、相似性于一体，显示出简化与精密、直观与抽象的高度统一.什么是构造法又怎样去构造呢？构造法是运用数学的基本思想经过认真的观察，深入的思考、分析，迁移联想，正确思维，巧妙地、合理地构造出某些元素、某种模式，使问题转化为新元素的问题，或转化为新元素之间的一种新的组织形式，从而使问题得以解决，这种方法称之为“构造法”.构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体的问题的特点而采取相应的解决办法，其基本的方法是：借用一类问题的性质，来研究另一类问题的思维方法.在解题过程中，若按习惯定势思维去探求解题途径比较困难时，我们可以根据题目特点，展开丰富的联想拓宽自己思维范围，运用构造法来解题也是培养我们创造意识和创新思维的手段之一，同时对提高我们的解题能力也有所帮助.构造法包含的内容很多，在解题中的应用也千变万化，无一定规律可言,它需要更多的分析、类比、归纳、判断，同时能激发人们的直觉思维和发散思维.如何借助构造的思想实现解题过程中的转化呢？关键是对题设条件进行逻辑处..理，通过一般化、特殊化的想象，巧妙地对问题进行分析与综合，构造出一种思维的创造物和想象物.构造法是数学解题方法中很重要的一种方法，在解题中被广泛应用.它之所以重要，不仅因为它完善了我们的数学思维，开拓了我们的思路，加深了我们对数学的理解，给人以一种美的享受.其妙处在于不是直接去解决所给的问题，而是去构造一个与原问题有关的辅助新问题，这里引出新问题并非为了它本身，而是希望通过它的解决来帮助解决新问题.如果新问题比原问题更简单，更直观，那么这种思考问题的方法就会成功.2应用构造法解题构造法是数学解题中的一种重要思维方法，不仅可以拓宽思路，创造一些新的情境，提高分析问题解决问题的能力，而且富有巧妙、新颖、独特的功效.有些问题用别的方法束手无策，可一旦用了构造法就豁然开朗了.2.1构造函数法对于某些代数式的证明问题，可以把其中一个元素看成是另一个元素的函数，或者把一个代数式看成一个函数，或者根据题目结构特点，巧妙地构造一个函数，从而站在函数的角度，研究这个函数的性质，达到解决问题的目的.例1求函数1yxx的最大值分析：由根号下的式子看出11x+-x=且01x故可联想到三角函数关系式并构造2sinx(0)2所以sincos2sin()4yxx当4即12x时，max2y2.2构造方程法若不等式的证明问题正面思维遇阻，可以改为逆向思维，从结论考虑，沟通条件和结论的关系，构造出与结论有关的方程，以便利用方程理论迅速解决问题.有些数学题，经过观察可以构造一个方程，从而得到巧妙简捷的解答.例2已知实数,,abc满足0abc和2abc.求证：,,abc中至少有一个不小于2奎屯王新敞新疆..zyxOBCA分析：由条件得,bca，2bca.所以,bc是一元二次方程220xaxa的两个根，故可构造方程来求解.证明：由题设显然,,abc中必有一个正数，不妨设0a.则,2bcabca即,bc是二次方程022aaxx的两实根.所以280aa.故2a.2.3构造几何图形构造几何图形，就是将题中的元素用一些点或线来取代，使题中的各种关系得以在图中表现出来，然后借助几何的直观寻求问题的解答，或借助几何知识对问题进行推证.例3若,,0xyz，则zxxzyzzyxyyx222222.分析：可以用两边同时平方来证此题，但是太繁.由22xyxy我们就会联想到余弦定理，于是构造三角形用余弦定理来求证.证明：如图2—2，作120AOBBOCCOA,设,,OAxOByOCz.由余弦定理AB＝xyyx22,BC＝yzzy22,CA＝zxxz22.因为ABBCCA,图2—1所以xyyx22+yzzy22zxxz22.2.4构造新数列求原数列通项数列的通项公式是研究数列的关键，因而求数列的通项公式显得极为重要.构造新数列求通项，既可以考察学生等价转换与化归的数学思想，又能反映我们对等差、等比数列的理解深度.2.4.1形如n+1napaq，求通项公式，可构造新数列na例4已知数列na满足114,21nnaaa，求数列na通项公式...分析：这类题十分常见，它是有一般方法解的.即引入待定系数，拼凑1()nnapa，使得na成为等比数列.解：设1()nnapa.整理得1nnapap，与已知121nnaa对比系数得2,1.p于是11112(1)21nnnnaaaa即，所以数列1na是首项为115a，公比为2的等比数列.由1152nna，得1521nna.2.4.2形如1nnnAaaaB，求通项公式，构造新数列1na分析：两边同时取倒数得,1111nnBaAAa，令111nnba.得1nnbpbq.例5在数列na中，1122,,2nnnaaaa求数列na的通项公式.解：由122nnnaaa,两边取倒数得，1211122nnnnaaaa.整理得11112nnaa，故数列1na是首项为12，公差为12的等差数列.于是,111111(1)(1)2222nnnnaa.故2nan.注：形如1nnnAaBaCaD，求数列的通项公式.该数列一般可引如参数,,t，使得1()()nnntaaa，与已知对比后得系数，转化为新数列1nka.2.4.3构造与nS有关的数列，再由nS求na例6已知数列na前n项的和为nS，12a，21(2)nnSS，求数列na的通项公式.解：由211(2)2nnnnSSSS得，即12nnSS，即数列nS是以112Sa为首项，以2为公差的等差数列...A'B'D'AC'DCB所以21(1)222nnSSnnSn即.当1n时，112aS；当2n时，22122(1)42nnnaSSnnn.综上述，数列的通项公式是242nan(1)(2)nn.2.5构造立体几何模型法某些不等式的证明，可与立体几何的直观模型密切联系，从而利用立体几何的有关知识给出不等式的一种有效证明.例7已知：锐角,,满足222coscoscos1求证：（1）24ctgctgctg，（2）coscoscos3,（3）222secsecsec9.证明：由条件222coscoscos1图2—2联想到构造立体几何模型——长方体，于是构造长方体ABCDABCD，如图2—2所示，对角线长l，对角线与三条棱的夹角分别为,,.设,,AAaABbBCc.则222abcl，所以有222222abcctgctgctgbcacab222abcbcacab24，当且仅当abc,即3arccos3时取等号.（2）coscoscosabclll222233333abclll..即：coscoscos3.（3）222222secsecsec()()()lllabc22222222abcabcab22222222222222223()()()abcbacbaccabbcca32229.所以222secsecsec9.结束语：从上面的例子我们不难看出，构造法解题有着意想不到的功效，恰当应用构造法问题容易解决.构造法解题重在“构造”，它可以构造图形、方程、函数甚至其它构造，就会促使我们要熟悉几何、代数、三角等基本知识技能并多方设法加以综合利用，这对我们的多元思维培养，学习兴趣的提高以及钻研独创精神的发挥十分有利.因此，在解题时，我们要从多角度，多渠道进行广泛的联想才能得到许多构思巧妙，新颖独特，简捷有效的解题方法.而且还能加强我们对知识的理解，培养思维的灵活性，提高我们分析问题的创新能力.构造法是一种创造性的解题方法，在数学解题中有着广泛的应用.构造法解题的导学功能既体现在思维功能上，也体现在发现、创新功能上，更体现在追求美妙、神奇的功能上.在数学解题过程中，同样存在着“价值观念”问题，解题时要瞄准最终目标，用最小的“代价”来获取最大的“成果”.而利用构造法解题正是这一价值的具体体现，把握这一原则，在解题时就会产生很多巧思妙想，令人耳目一新.在解题过程中渗透这一原则，对提高我们分析和解决问题的能力是非常有益的.应用构造的思想解题需要扎实的基础知识，由此及彼的丰富联想能力和较强的思维能力，在具体的解题过程中，需要仔细审题，弄清题意，借助联想，构造出新的数学形式，使所求的问题转化...参考文献：[1]刘绍学.数学通报[J].《数学通报》编辑部.2007.2[2]中学数学教学参考[J].陕西师范大学出版社.2007.3[3]李维华.中学数学教学[J].人大复印报刊资料.1995.3[4]王培德.数学思想应用及探究——建构数学[M].人民教育出版社.2003.143—161.[5]史久一、朱梧稼等.化归与归纳，类比，联想[M].江苏教育出版社，1988.62—87.[6]王子兴.数学方法论——问题解决的理论[M].中南工业大学出版社，1995.92—101.[7]李明振.数学方法与解题研究（第二版）[M].上海科技教育出版社，2002.7339—400[8]贺金华.数学教学中如何培养学生的思维品质[J].数学教学通讯2004.338—40[9]刘朝斌.解一元二次不等式的几点技巧[J].数学教学通讯2004.346—47[10]王秀奎、李昆.构造解析几何模型求函数值域[J].语数外2006.237—38