换底公式的课后经典练习

2.2.1.3一、选择题1．下列各式中不正确的是()[答案]D[解析]根据对数的运算性质可知：2．log23·log34·log45·log56·log67·log78＝()A．1B．2C．3D．4[答案]C[解析]log23·log34·log45·log56·log67·log78＝lg3lg2×lg4lg3×lg5lg4×lg6lg5×lg7lg6×lg8lg7＝lg8lg2＝3，故选C.3．设lg2＝a，lg3＝b，则log512等于()A.2a＋b1＋aB.a＋2b1＋aC.2a＋b1－aD.a＋2b1－a[答案]C[解析]log512＝lg12lg5＝2lg2＋lg31－lg2＝2a＋b1－a，故选C.4．已知log72＝p，log75＝q，则lg2用p、q表示为()A．pqB.qp＋qC.pp＋qD.pq1＋pq[答案]B[解析]由已知得：log72log75＝pq，∴log52＝pq变形为：lg2lg5＝lg21－lg2＝pq，∴lg2＝pp＋q，故选B.5．设x＝，则x∈()A．(－2，－1)B．(1,2)C．(－3，－2)D．(2,3)[答案]D[解析]x＝＝log310∈(2,3)，故选D.6．设a、b、c∈R＋，且3a＝4b＝6c，则以下四个式子中恒成立的是()A.1c＝1a＋1bB.2c＝2a＋1bC.1c＝2a＋2bD.2c＝1a＋2b[答案]B[解析]设3a＝4b＝6c＝m，∴a＝logm3，b＝logm4，c＝logm6，∴1a＝logm3，1b＝logm4，1c＝logm6，又∵logm6＝logm3＋logm2，1c＝1a＋12b，即2c＝2a＋1b，故选B.7．设方程(lgx)2－lgx2－3＝0的两实根是a和b，则logab＋logba等于()A．1B．－2C．－103D．－4[答案]C[解析]由已知得：lga＋lgb＝2，lgalgb＝－3那么logab＋logba＝lgblga＋lgalgb＝lg2b＋lg2algalgb＝(lga＋lgb)2－2lgalgblgalgb＝4＋6－3＝－103，故选C.8．已知函数f(x)＝2x2＋lg(x＋x2＋1)，且f(－1)≈1.62，则f(1)≈()A．2.62B．2.38C．1.62D．0.38[答案]B[解析]f(－1)＝2＋lg(2－1)，f(1)＝2＋lg(2＋1)因此f(－1)＋f(1)＝4＋lg[(2－1)(2＋1)]＝4，∴f(1)＝4－f(－1)≈2.38，故选B.二、填空题9．设log89＝a，log35＝b，则lg2＝________.[答案]22＋3ab[解析]由log89＝a得log23＝32a，∴lg3lg2＝3a2，又∵log35＝lg5lg3＝b，∴lg3lg2×lg5lg3＝32ab，∴1－lg2lg2＝32ab，∴lg2＝22＋3ab.10．已知logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，那么式子logabcx＝________.[答案]1[解析]logx(abc)＝logxa＋logxb＋logxc＝12＋13＋16＝1，∴logabcx＝1.11．若logac＋logbc＝0(c≠1)，则ab＋c－abc＝______.[答案]1[解析]由logac＋logbc＝0得：lg(ab)lgalgb·lgc＝0，∵c≠1，∴lgc≠0∴ab＝1，∴ab＋c－abc＝1＋c－c＝1.12．光线每透过一块玻璃板，其强度要减弱110，要使光线减弱到原来的13以下，至少要这样的玻璃板______块(lg3＝0.4771)．[答案]11[解析]设光线原来的强度为1，透过第n块玻璃板后的强度为(1－110)n.由题意(1－110)n13，两边同时取对数得nlg(1－110)lg13，所以n－lg32lg3－1＝0.47710.0458≈10.42故至少需要11块玻璃板．三、解答题13．已知log34·log48·log8m＝log416，求m的值．[解析]log416＝2，log34·log48·log8m＝log3m＝2，∴m＝9.14．计算(lg12＋lg1＋lg2＋lg4＋lg8＋……＋lg1024)·log210.[解析](lg12＋lg1＋lg2＋lg4＋…＋lg1024)·log210＝(－1＋0＋1＋2＋…＋10)lg2·log210＝－1＋102×12＝54.15．若25a＝53b＝102c，试求a、b、c之间的关系．[解析]设25a＝53b＝102c＝k，则a＝15log2k，b＝13log5k，c＝12lgk.∴logk2＝15a，logk5＝13b，logk10＝12c，又logk2＋logk5＝logk10，∴15a＋13b＝12c.16．设4a＝5b＝m，且1a＋2b＝1，求m的值．[解析]a＝log4m，b＝log5m.∴1a＋2b＝logm4＋2logm5＝logm100＝1，∴m＝100.17．已知二次函数f(x)＝(lga)x2＋2x＋4lga的最大值是3，求a的值．[解析]∵f(x)的最大值等于3∴lga016lg2a－44lga＝3，∴(4lga＋1)(lga－1)＝0∵lga0，∴lga＝－14，∴a＝10－14.