现代设计方法课程02优化设计1-2

现代设计方法第二章优化设计第二章优化设计OptimizationDesign现代设计方法第二章优化设计本章主要内容优化设计的基本概念与数学模型优化问题的极值条件与数值迭代法一维搜索方法无约束优化方法约束优化方法多目标优化方法与离散变量优化问题现代设计方法第二章优化设计§2.1优化设计的基本概念与数学模型6m6mxx引例【例1】有一边长为6m的正方形钢板，四角各截去一个小的方块，加工成盒子，试确定截去的四个小方块的边长，使加工的盒子具有最大的容积。现代设计方法第二章优化设计解：设截去的四个小方块的边长为x，则盒子的容积可表示成x的函数2)26()(xxxf求变量x，使函数极大化其中，x称为设计变量，f(x)称为目标函数。由于目标函数是设计变量的一元三次函数，且没有附加的约束条件，因此该问题属于一元非线性无约束优化设计问题。2)26()(xxxf该设计问题的最优解为16)(,1**xfx极值为现代设计方法第二章优化设计【例2】某工厂生产甲、乙两种产品，生产每种产品所需的材料、工时、电力和可获得的利润以及能够提供的材料、工时和电力见表1。试确定两种产品每天的产量，以使每天可获得的利润最大。产品材料/kg工时/h电力/kw.h利润/元甲93460乙4105120供应量360300200表1生产条件与供给数据现代设计方法第二章优化设计解：这是一个生产计划问题。归结为既满足各项生产条件，又使每天所能获得的利润达到最大的优化设计问题。设每天生产甲产品x1件，乙产品x2件，每天获得的利润可用函数f(x1,x2)表示，即：f(x1,x2)=60x1+120x2每天实际消耗的材料用函数g1(x1,x2)表示，即：g1(x1,x2)=9x1+4x2每天实际消耗的工时用函数g2(x1,x2)表示，即：g2(x1,x2)=3x1+10x2每天实际消耗的电力用函数g3(x1,x2)表示，即：g3(x1,x2)=4x1+5x2现代设计方法第二章优化设计求变量：x1，x2设计目标函数：使函数f(x1,x2)=60x1+120x2极大化约束函数为gi(x1,x2)不等式的约束条件满足条件：0),(0),(20054),(300103),(36049),(22151214212132121221211xxxgxxxgxxxxgxxxxgxxxxg现代设计方法第二章优化设计由于目标函数和所有约束函数均为设计变量的线性函数，因此该问题为线性约束优化问题，显然，这样的问题无法解决直接用于极值条件求解，须借助数值算法语言来计算。该设计问题的最优解为：4080),(,24,2021**2*1xxfxx极值为现代设计方法第二章优化设计一、优化设计的概念1.什么是优化设计？优化设计是将工程设计问题转化为最优化问题，利用数学规划的方法，借助于计算机（高速度、高精度和大存储量）的处理，从满足设计要求的一切可行方案中，按照预定的目标自动寻找最优设计的一种设计方法。2.产生和发展机构学问题－结构运动参数优化机构运动学优化设计机械零部件和产品的优化设计现代设计方法第二章优化设计3.典型举例(1)美国。辛格采用优化设计方法设计了一种十级转速的机床主轴箱，使各轴的中心距总和比用传统设计方法所取得的结果减少16.55%，从而体积和重量相应的减少。(2)意大利。扎罗蒂用优化设计方法对工程机械中的柴油机变速箱等作了最佳匹配设计，显著提高了其性能。(3)中国。葛洲坝二号船闸人字门启闭机构经过优化设计，使驱动力矩由400t.m降为232t.m。现代设计方法第二章优化设计二、优化设计的数学模型优化设计的问题首先是建立数学模型，即把实际问题转化为数学模型的形式，一般包括三个方面：设计变量与设计空间、约束条件和目标函数。1.设计变量与设计空间在机械设计中，每一个设计方案都可以用一组参数来表示，这些参数有几何参数和物理参数。几何参数如构件的长度、位置角、构件上点的坐标等；物理参数如质量、转动惯量、力及力矩等。这些参数中，在优化设计前根据要求预先给定的，称为设计常量。现代设计方法第二章优化设计在优化设计中待选择的参数，也是变化的量，称为设计变量。设有n个设计变量，可用一个向量X表示。写成nTnnRXxxxxxxX,,,2121式中——表示n维空间，它包括了所有的设计变量，称为设计空间，一个设计向量X代表着一个设计方案，它对应着n维空间的一个点，其中最优设计方案用表示，称为最优点或优化点。nR*XninRxNnxxxx,,,,,,321现代设计方法第二章优化设计设计变量的数目称为维数，维数越多，优选方案越多，效果越好，但计算更复杂，难度增加。一般在优化设计中，不应过多地增加设计变量，应尽可能根据以往经验将一些参数确定为设计常量，而只将那些对设计指标影响比较大的设计参数定为设计变量。另外，还要兼顾求解的精读和复杂性方面的要求。现代设计方法第二章优化设计设计空间中的一个设计点X构成一个以坐标原点为起点，以X为终点的向量。两个设计点X(1)和X(2)则构成三个向量，其中X(1)－X(2)代表以X(2)为起点，以X(1)为终点的向量。x1x2X(1)X(2)X(1)－X(2)x1x2x3X(1)X(2)X(1)－X(2)二维设计平面三维设计空间现代设计方法第二章优化设计2.约束条件与可行域(1)约束条件对任何设计都有若干不同的要求和限制，将这些要求和限制表示成设计变量的函数并写成一系列不等式和等式表达式，就构成了设计的约束条件简称约束。其作用是对设计变量的取值加以限制。根据形式的不同：不等式约束和等式约束根据性质的不同：边界约束和性能约束。nxxxx,,,,321现代设计方法第二章优化设计不等式约束与等式约束的几何意义：x1x2g(X)=0g(X)0g(X)00不等式约束h(X)=0h(X)≠0h(X)≠0x10x2等式约束现代设计方法第二章优化设计(2)可行域任何一个不等式约束都把设计空间分为两部分，一部分是满足约束条件的称为可行域，另一部分是不满足约束条件的称为非可行域，这两部分分界是(约束方程)。在约束边界上的点称为边界点，两个以上约束的交点称为角点。0)(Xgi现代设计方法第二章优化设计例2的5个约束方程分别是：0)(0)(20054)(300103)(36049)(2514213212211xXgxXgxxXgxxXgxxXg其可行域是什么？1009080706050403020101009080706050403020100)(1Xg0)(4Xg0)(3Xg0)(2Xg0)(5Xg1x2x现代设计方法第二章优化设计【例3】根据下列约束条件画出可行域。0)(01)(02)(132212211xXgxxXgxxXg可行域在约束边界的哪一边怎么确定？543210-2-1212x1x0)(3Xg0)(1Xg0)(2Xg现代设计方法第二章优化设计(3）起作用约束设X为设计空间中的一个点：满足所有约束条件的点称为可行点（内点）不满足所有约束条件的点称为非可行点（外点）X在某个约束边界上，则这个约束条件称为X的起作用约束X不在某个约束边界上，则这个约束条件称为X的不起作用约束现代设计方法第二章优化设计1x2x)3(X0)(3Xg)1(X)2(X0)(2Xg0)(1Xg0)(4Xg起作用约束设计点X(k)的所有起作用约束的函数序号下标集合用Ik表示，即}),,2,10)({)(muXguIkuk(，321}2,1{}1{,III左图中现代设计方法第二章优化设计3.目标函数优化设计的任务是在许多可行的方案中找出最优的方案，所谓最优方案是在设计变量中能最好的满足所需追求的某些特点的目标，而这些目标又可表达为设计变量的函数，称为目标函数。目标函数可用来评价设计方案的好坏，所以又称为评价函数。常表示为：),,,,()(321nxxxxXf现代设计方法第二章优化设计一般目标函数可用经济指标和性能指标来表示。经济指标如机器的寿命最长、重量最轻、体积最小、用料最省、所需功率最小等；性能指标主要是满足运动学与动力学的要求，如牛头刨床要求刨刀在工作行程上近似等速，港口起重机要求点轨迹近似直线，凸轮机构要求压力角小于许用压力角等等。现代设计方法第二章优化设计4.优化设计的数学模型一般形式：123,,,,,nnixxxxnNxR求变量：123()(,,,,)nfxxxx极小化极大化函数：123(,,,,)0()ungxxxx约束条件：不等式约束123(,,,,)0()vnhxxxx等式约束现代设计方法第二章优化设计12,,TnXxxx若用向量表示设计变量nnXRX表示向量属于维实欧式空间用“max、min”表示极大、极小化，用“s.t”表示“满足于”，“m、p”表示不等式约束与等式约束的个数，则表示如下形式：),,3,2,1(0)(),,3,2,1(0)(..)(min(max)pvXhmuXgtsRXXfvun现代设计方法第二章优化设计本课程中，所有的优化设计问题都是求目标函数的极小值。遇到求极大值的问题，则先通过转化变成极小值问题。与此同时，所有的不等式约束都采用的形式。0)(Xg现代设计方法第二章优化设计三、优化设计的分类按目标函数的多少：单目标优化和多目标优化按所能求解的维数：一维优化法(一维搜索)和多维优化法按约束情况：无约束优化方法和约束优化方法用数学模型表达的求优方法称为数学优化方法，包括数学规划法和最优控制法按求优的途径：数学迭代法、解析法、图解法现代设计方法第二章优化设计数值迭代法：利用已有信息及再生信息进行试探及迭代求优方法，是目前优化设计中广泛采用的方法。解析法：利用函数性态通过微分或变分求优；图解法：利用作图求优，主要用于不超过二维的优化问题。现代设计方法第二章优化设计四、优化问题的图解法1.等值线的概念以二维优化为例。设目标函数为，它的图形是三维空间中的一个曲面。用一个平面z=c(常数)去截这个曲面，其交线是空间中的一条曲线，在这条曲线上所有的点距平面xoy有同一高度，即具有相同的目标函数值，称这条曲线为等高线。),(yxfzxyzo等高线现代设计方法第二章优化设计为方便起见，往往将这条曲线投影到xoy平面，这条曲线称为该函数的等值线，不同的常数c1、c2,…所截的平面曲线不同，得到不同的等值线。oyx求优的出发点：不同的圆函数值不同，越靠近中心函数值越小，同心圆的中心函数值最小。现代设计方法第二章优化设计例2中目标函数的等值线2112060)(xxXf3600)(Xf2400)(Xf1200)(Xf0)(Xf06050403020101x403020102x现代设计方法第二章优化设计2.优化问题的图解法例2的图解法。0)(0)(20054)(300103)(36049)(..12060)(min251421321221121xXgxXgxxXgxxXgxxXgtsxxXf现代设计方法第二章优化设计1009080706050403020101009080706050403020100)(1Xg0)(4Xg0)(3Xg0)(2Xg0)(5Xg1x2x4080)(XfTX]2420[*，最优解是等值线在函数值下降方向上与可行域的最后一个交点。0)(0)(020054)(0300103)(036049)(2514213212211＝＝＝＝＝约束方程：xXgxXgxxXgxxXgxxXg现代设计方法第二章优化设计【例4】用图解法求解0)(01)(02)(..44)(min13221221112221xXgxxXgxxXgtsxxxXf现代设计方