全等三角形的讲义整理讲义

全等三角形专题一全等三角形的性质【知识点1】能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。（两个三角形全等是指两个三角形的大小和形状完全一样，与他们的位置没有关系。）【知识点2】两个三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角。【例题1】如图，已知图中的两个三角形全等，填空：(1)与是对应边，与是对应边，与是对应边；(2)∠A与是对应角，∠与是对应角，∠与是对应角DABC【方法总结】在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法。(1)有公共边的，公共边一定是对应边；(2)有公共角的，公共角一定是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角；(4)在两个全等三角形中，最长的边对最长的边，最短的边对最短的边，最大的角对最大的角，最小的角对最小的角。【练习1】如图，图中有两对三角形全等，填空：(1)△≌；(2)△≌.【知识点3】全等三角形的对应边相等，对应角相等。（由定义还可知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线和高相等，对应角的角平分线相等）【例题2】（海南省中考卷第5题）已知图2中的两个三角形全等，则∠度数是（）A.72°B.60°C.58°D.50°【例题3】（清远）如图，若111ABCABC△≌△，且11040AB°，°，则1C=．【练习2】如图，ACBACB△≌△，BCB=30°，则ACA的度数为（）A20°B．30°C．35°D．40°【练习3】如图，△绕着点B沿顺时针方向旋转90°到△，且∠90°。（1）△和△是否全等？如果全等，请指出对应边与对应角。ABCC1A1B1OEABCDCABBA（2）若35,你能求出的长吗？（3）直线和直线有怎样的位置关系？请说明理由。专题二全等三角形的判定【知识点1】：三边对应相等的两个三角形全等。简写为“边边边”或“.【例题1】如图，，求证：∠∠。【练习1】已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，＝，＝，＝，求证：△≌△．【知识点2】:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“.【例题2】已知：如图，和相交于点O，，．BCDEFA求证：∥．【练习2】已知：如图，∥，，.求证：△≌△【练习3】如图，已知⊥，⊥，＝，＝，求证：⊥．若将沿方向平移得到图(2)(3)(4)(5)的情形，其余条件不变，结论1⊥C2E还成立吗？请说明理由．【知识点3】：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，（可以简写为“角边角”或“”）【例题3】已知：如图，∠∠，∠∠C，O是的中点。求证：△≌△．【练习4】1、如图，在四边形中，E是上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证:∠5=∠6．2、如图，点E在△的外部，点D在边上，交于点F，若∠1=∠2=∠3，，求证：。3、如图，已知：△中，，∠90°，分别过B，C向过A的直线作垂线，垂足为E，F。（1）证明：过A的直线与斜边不相交时，则有，如图1。（2）如图2，过A的直线与斜边相交时，其他条件不变，你能得到什么结论？请给出证明。654321EDCBA【知识点4】:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，(可以简写为“角角边”或“”)这一结论很容易由推得：因为三角形的内角和等于180°，因此有两个角分别对应相等，那么第三个角必对应相等，于是由“角边角”，便可证得这两个三角形全等．所以两个三角形如果具备两个角和一条边对应相等，就可以判断其相等。【例题4】1、下列说法中：①如果两个三角形可以依据“”来判定全等，那么一定也可以依据“”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．正确的是（）A．①和②B．②和③C．①和③D．①②③2、已知：如图，，，，垂足分别为D、E，、相交于点F，求证：．【练习6】1、如图，在△中，为∠的平分线，⊥于E，⊥于F，△面积是282cm，＝20，＝8，求的长．2、△是等腰直角三角形，∠＝90°，是边上的中线，过C作的垂线，交于点E，交于点F，求证：∠＝∠．ACBDEFAEBDCFABCDEF图9【知识点5】:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，（可以简写为“斜边，直角边”或“”）【例题5】（1）证明两个直角三角形全等的方法有（2）根据下列已知条件，能惟一画出三角形的是（）A．＝3，＝4，＝8；B.＝4，＝3，∠A＝30；C.∠A＝60，∠B＝45，＝4；D.∠C＝90，＝6（3）已知：如图△中，⊥，⊥，、交于O点，且求证：.（4）如图，∠90°，，D为上一点，⊥于E，⊥交的延长线于F．求证：．【练习2】1、对于下列各组条件，不能判定△ABC≌△CBA的一组是（）（A）∠∠A′，∠∠B′，′B′（B）∠∠A′，′B′，′C′（C）∠∠A′，′B′，′C′（D）′B′，′C′，′C′（2）专题三角的平分线的性质【知识点1】角的平分线：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线【例题1】1、已知∠，作∠的平分线。（尺规作图）2、直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（）A．45°B．135°C．45°或135°D．都不对【知识点2】角的平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。【例题2】1、△中，∠A＋∠B＝∠C，∠A的平分线交于点D，若＝8，则点D到的距离为＿＿＿＿．2、如左下图，在△中，∠90°平分∠，⊥于D，如果3，那么等于A.2B.3C.4D.52、如右上图，已知，，与交于点D，则①△≌△②△≌△③D在∠的平分线上，以上结论中，正确的是A.只有①B.只有②C.只有①和②D.①，②与③3、如图，已知△中，E是延长线上的一点，，平分∠A，。求证：∠2∠C。【知识点3】角平分线的判定方法1：（角平分线的定义）把一个角分成两个相等的角的射线叫做角平分线。方法2：（角平分线的判定定理）到角两边的距离相等的点在角的平分线上。（此命题与角的性质定理的已知和结论都不同）【例题3】1、如图中，E是延长线上一点，⊥、⊥、，求证：∠=∠。2、如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以、为边在直线的同旁作等边三角形、，连结交于M，连结交于N，连结，求证：△是等边三角形。3、已知：如图，平分∠和∠；求证：①△≌△②4、如图，已知平分∠，平分∠，且交于E．求证：平分∠.DFCBAE第二章轴对称专题一：轴对称【基础练习】1.（2010•日照）已知上面四个汽车标志图案，其中是轴对称图形的图案是。（只需填入图案代号）．2.（2008•贵阳）如图，正方形的边长为4，则图中阴影部分的面积为2．3.下列轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是（）图(二)图(一)DCAB图22A．B．C．D．4.下图均为7×6的正方形网格，点A、B、C在格点上．在图中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形．(要求：分别在图①、图②、图③中画出三个互不相同的图形)5.（2009•河南）如图，△与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为（）6.如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”。如图（一）中四边形就是一个“格点四边形”。（1）在图（一）中作出四边形关于直线对称的四边形A'B'C'D'；（2）求图（一）中四边形的面积；（3）在图（二）方格纸中画一个格点三角形，使△的面积等于四边形的面积且△为轴对称图形。【知识点】1.轴对称与轴对称图形的区别和联系2.轴对称的性质：3.轴对称的作法：作ABC关于直线L的对称图形LBCA专题二：线段的垂直平分线【基础练习】1.（2010•无锡）如图，△中，垂直平分交于E，∠30°，∠80°，则∠度（1题）（2题）（4题）（5题）2.（2010•黄石）如图，等腰三角形中，已知，∠30°，的垂直平分线交于D，则∠的度数为3.（2009•黄冈）在△中，，的垂直平分线与所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B等于4.（2009•泉州）如图，在△中，边上的垂直平分线交边于点D，交边于点E．若△的周长为24，△与四边形的周长之差为12，则线段的长为5.（2010•三明）如图，在△中，∠90°，∠30°．的垂直平分线交于点D，交于点E，则下列结论不正确的是（）A、B、C、D、∠∠B6.（2010•巴中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A、△的三条中线的交点B、△三边的中垂线的交点C、△三条角平分线的交点D、△三条高所在直线的交点【知识点】1.线段的垂直平分线的作法：AB2.线段的垂直平分线的性质与判定：【复习检测】1.（2010•娄底）如图，在四边形中，∥，E为的中点，连接、，⊥，延长交的延长线于点F．求证：（1）；（2）．MNDABC2.如图，为△的角平分线，的垂直平分线分别交、于N、M两点，求证：∥。专题三：等腰三角形【基础练习】1.（2010•无锡）下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是（）A、两边之和大于第三边B、有一个角的平分线垂直于这个角的对边C、有两个锐角的和等于90°D、内角和等于180°2.（2007•重庆）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）菁通数学-菁优网A、20°或100°菁通数学-菁优网B、120°C、20°或120°D、36°3.等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个角的度数分别是4.已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为菁通数学-菁优网5.（2010•深圳）如图所示，△中，，∠80°，则∠B的度数是（）A、40°B、35°C、25°D、20°[能力提升]6.（2010•株洲）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△为等腰三角形，则点C的个数是（）A、6B、7C、8D、9.7（2010•鞍山）如图，在△中，∠90°，2，在直线或上取一点P，使得△为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A、4个B、5个C、6个D、7个8.（2010•安徽）如图，是△的边上的高，由下列条件中的某一个就能推出△是等腰三角形的是．（把所有正确答案的序号都填写在横线上）①∠∠；②∠∠；③；④．9.（2010•常州）如图，在△中，点D、E分别在边、上，，∠∠．求证：10.已知，如图，△中，=45oABC∠，⊥与D，平分ABC∠，且⊥于E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G。（1）求证：（2）求证：12CEBF（3）与的大小关系如何？试证明你的结论。【知识点】ABCFGBCADEH1．如图：等腰三角形的性质：等腰三角形的判定：2．等腰三角形的三线合一：第三章实数第一讲实数一、中考要求及命题趋势1.正确理解实数的有关概念；2.借助数轴工具，理解相反数、绝对值、算术平方根等概念和性质；3.掌握科学计数法表示一个数，熟悉按精确度处理近似值。4、掌握实数的四则运算、乘方、开方运算以及混合运算5、会用多种方法进行实数的大小比较。二、考点解析考点一、有理数、无理数和实数的概念例1、1.（2009，义乌）在实数0，1，2，0.1235中，无理数的个数为（）A.0个B.1个C.2个D.3个2.(2009,肇庆)实数2，0.3，17，2，π中，有理数的个数是（）A．2B．3C．4D．5考点二、相反数、倒数、绝对值的概念例2、1、(2009,威海)327的绝对值是（）BA．3B．3C．13D．132、（2009江西省）：若m，n互为相反数，则m+n=3、（2006年河南省）：31的倒数是（）A．3B．3C．31D．31考点三、平方根、算术平方根和立方根的概念例3、1.(2009,凉州)已知一个正数的平方根是32x和56x，则这个数是（）．A.2B.2C.2D.22.实数8的立方根是．3.(2008,济宁)已知a为实数，那么2a等于（）A．aB．aC．1D．04.（2009，恩施）-9的算术平方根是.5.（2009，荆门）|－9|的平方根是()(