搜索
2.3.1双曲线及其标准方程一、复习回顾：老师：我们之前学习了椭圆，下面我们一起来回顾一下。老师：我们根据椭圆的定义：与两定点距离的和为非零常数（大于两定点间的距离）的点的轨迹是椭圆.可以画出椭圆的图形。并且椭圆有上面两种情况，一种交点在x轴上，第二种交点在y轴上.思考？平面上到两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹又是什么图形呢？引入实例画双曲线：(1)取一条拉链，拉开一部分(2)在拉开的两边上各选择一点，固定在板上的两点F1、F2(3)把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开闭拢，画出一条曲线（利用几何画板展示画双曲线）画双曲线.exe老师：我们看到最后画出的是这样的一个图形，这就是我们今天所学习的新的图形叫做“双曲线”板书：二、双曲线的定义：1、平面上到两个定点的距离的差的绝对值等于常数2a(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线2、定点F1、F2叫做双曲线的焦点．3、两焦点之间的距离叫做焦距(2c)．三、双曲线的标准方程老师：我们之前学习了椭圆有两种标准方程，那么我们今天所学习的双曲线呢，它的标准方程又是什么呢？下面我们一起来探讨一下。板书：(板书推导出标准方程)F1F2(-c,0)(c,0)M(x,y)(0,c)F1F2(0,-c)M(x,y)xyoxyo22221(0)xyabab22221(0)yxabab第一步建立直角坐标系以线段F1F2中点为坐标原点，F1F2所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则F1(-c,0)，F2(c,0).第二步设点设M(x,y)第三步列式由定义可得||MF1|-|MF2||＝2a第四步代坐标√(𝐱+𝐚)𝟐+𝐲𝟐－√(𝐱−𝐚)𝟐+𝐲𝟐=2a第五步化简(𝒄𝟐-𝒂𝟐)𝒙𝟐+𝒂𝟐𝒚𝟐=𝒂𝟐(𝒄𝟐−𝒂𝟐)设c2-a2＝b2得𝒃𝟐𝒙𝟐−𝒂𝟐𝒚𝟐=𝒂𝟐𝒃𝟐标准方程：𝒙𝟐𝒂𝟐－𝒚𝟐𝒃𝟐=1图形：特点：（1）、表示焦点在x轴上的双曲线（2）、其焦点坐标为（c,0),(-c,0)（3）、双曲线上每一点到两焦点距离之差的绝对值为2a即：𝒙𝟐𝒂𝟐－𝒚𝟐𝒃𝟐=1（双曲线的标准方程）四、分类老师：我们前面学习了椭圆，我们知道椭圆有两种不同的图形，那么我们今天学习的双曲线呢，也有两种类型。板书：（1）、交点在x轴上的双曲线M(x,y)F1（-c,0）F2(c,0)Oyx𝒙𝟐𝒂𝟐－𝒚𝟐𝒃𝟐=1（2）、交点在y轴上的双曲线𝒚𝟐𝒂𝟐－𝒙𝟐𝒃𝟐=1老师：在y轴上的双曲线证明方法和前面我们证明交点在x轴上的双曲线是一样的，这个问题就留给大家自己下去证明。五、练习1、判断下列双曲线的焦点位置，并求出焦点坐标和焦距(1)、𝑥236－𝑦264=1(2)、𝑦216－𝑥29=1思考？双曲线𝑥264－𝑦236=1上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一焦点F2的距离是______2、已知双曲线的两个焦点坐标分别是(-5,0)，(5,0)，点P到F1,F2距离差的绝对值等于6，求它的标准方程．3、求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a=4，b=3，焦点在x轴上；(2)焦点为(0,-6)，(0,6)，且经过点(2,-5)．4、如图,设点Ａ，Ｂ的坐标分别为(-5,0)，(5,0)．直线AM，BM相交于点Ｍ，且它们的斜率之积是，求点Ｍ的轨迹方程．5、求证：双曲线𝑥2−15𝑦2=15与椭圆𝑥225+𝑦29=1的焦点相同．六、小结1、双曲线的定义2、双曲线的标准方程（1）𝒙𝟐𝒂𝟐－𝒚𝟐𝒃𝟐=1（a0,b0），交点在x轴上.（2）𝒚𝟐𝒂𝟐－𝒙𝟐𝒃𝟐=1(a0,b0)，交点在y轴上.ABMyxO