如何使用MATLAB求解微分方程(组)

TMU_BME_2013Topic:如何使用MATLAB求解常微分方程（组）微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程。未知函数是多元函数的微分方程称作偏微分方程。MATLAB（matrix&laboratory）意为矩阵工厂（矩阵实验室）.MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，提供高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。ODE工程控制航空航天金融分析医学生理MATLAB算法开发数据可视化数据分析数值计算When?当对问题进行建模后，有常微分方程需要求解时。在生物建模中，经常需要求解常微分方程。如药物动力学的房室模型的建模仿真。方法特点/说明ode23单步算法，2/3阶Runger-kutta法，累积截断误差(Δx)3用于求方程的数值解（下同），使用于精度较低情形ode45单步算法，2/3阶Runger-kutta法，累积截断误差(Δx)3大部分情况下的首选算法ode113多步算法，变阶Adams算法，高低精度均可达到10-3~10-6计算时间比ode45短ode15s多步算法，Gear’s反向数值积分，精度中等若ode45失效，计算时间较长时可尝试使用，刚性方程首选算法ode23s单步算法，二阶Rosebrock算法，低精度当精度较低时，计算时间比ode45短ode23t采用梯形算法适度刚性情形ode23tb基于隐式Runger-kutta公式的TR-BDF2算法与ode23s相似，对于宽误差容限，比ode15s更有效dsolve求解常微分方程的解析解只有在方程有解析解是才可使用Simulink模块将方程可视化，GUI操作简便How?数值解在数学中，刚性方程是指一个微分方程，其数值分析的解只有在时间间隔很小时才会稳定，只要时间间隔略大，其解就会不稳定。目前很难去精确地去定义哪些微分方程是刚性方程，但是大体的想法是：这个方程的解包含有快速变化的部分数值解是采用如有限元方法、数值逼近方法、插值方法等计算方法得到的解。只能利用数值计算的结果，而不能随意给出自变量并求出计算值。当无法藉由微积分技巧求得解析解时，这时便只能利用数值分析的方式来求得其数值解了。实际情况下，常微分方程往往只能求解出其数值解数值解？刚性方程？如何调用？y=dsolve('e1,e2,...','c1,c2,...','v')其中'e1,e2,...'为微分方程或微分方程组；'c1,c2,...',是初始条件或边界条件；'v'是独立变量，默认的独立变量是't'；y返回解析解。如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解。用字符串表示常微分方程，自变量缺省时为t,导数用D表示微分。y的2阶导数用D2y表示，依此类推。如何调用？[T,Y,TE,YE,IE]=solver('odefun',tspan,y0,options)其中solver为ode23、ode45、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb函数；odefun是函数句柄；tspan微分定义区间；y0为初值行矩阵；T值是t序列（为列向量）；Y值是微分方程的解Y在各点t的值（为列向量）；TE表示事件发生时间，可缺省；YE表示事件解决时间，可缺省；IE表示事件消失时间，可缺省；options是求解参数设置,可以用odeset在计算前设定误差,输出参数,事件等，可缺省。使用ODE?时如何编写微分方程？方式一：带额外参数，使用时需对参数进行赋值functionodefun(t,x,flag,R,L,C)%用flag说明R、L、C为变量xdot=zeros(2,1);%表明其为列向量xdot(1)=-R/L*x(1)-1/L*x(2)+1/L*f(t);xdot(2)=1/C*x(1);end方式二：无额外参数functiondC=odefun(t,C)dC=[0.1*C(3)+37.5-2.52*C(1);%直接书写列矩阵1.68*C(1)-0.01*C(2);0.004*C(2)-0.1*C(3)];endExamplesE.g.1求下列微分方程组的通解x'=2x-3y+3zy'=4x-5y+3zz'=4x-4y+2z输入命令：[x,y,z]=dsolve(‘Dx=2*x-3*y+3*z’,’Dy=4*x-5*y+3*z’,‘Dz=4*x4*y+2*z’,’t’)x=simple(x);y=simple(y);z=simple(z);%化简结果运行结果为：x=(c1-c2+c3+c2e-3t-c3e-3t)e2ty=-c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2tz=(-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2tExamplesE.g.2求解y''==-t*y+e^t*y'+3sin(2t)。已知3.9t4.0，y'(0)=2，y''(0)=8函数文件odefun.m的建立functiony=odefun(t,x)y=zeros(2,1);%列向量y(1)=x(2);y(2)=-t*x(1)+exp(t)*x(2)+3*sin(2*t);end求解程序关键步骤[t,y]=ode45('odefun',[3.94.0],[28])程序执行结果3.93.923.943.963.9844.02050010001500tyy''=-t*y+et*y'+3sin2ty1y2E.g.3求解人体中不同形式的碘浓度的三房室模型。已知碘在三房室之间的转换速率为：k21=0.84/d，k01=1.68/d，k32=0.01/d，k13=0.08/d，k03=0.02/d，f10=150g/d，f30=0g/d。初始条件为：x1(0)=81.2g，x2(0)=6821g，x3(0)=682g，v1=4L,v2=2L,v3=5L。仿真时间为30d。Examples通过列写方程组，建立odefun.m文件即方程组文件functiondC=odefun(t,C)dC=[0.1*C(3)+37.5-2.52*C(1);1.68*C(1)-0.01*C(2);0.004*C(2)-0.1*C(3)];end程序关键部分列写如下：[t,C]=ode15s('fun1',[0,30],[20.3,3410.5,136.4])E.g.3结果05101520253020.28520.2920.29520.3体内无机碘浓度C1(t)t/dC1(t)/(ug/L)0510152025303410.23410.43410.6甲状腺中有机碘浓度C2(t)t/dC2(t)/(ug/L)051015202530136.4136.405136.41136.415其他组织内有机碘浓度C3(t)t/dC3(t)/(ug/L)ExamplesE.g.4求解方程y''+1000(y2-1)y'+y=0。已知初值y(0)=2,y'=0，自变量0t3000。该方程为刚性方程，在使用Simulink模块求解时通过设置Configuration中solver选项为ode15s来求解方程，并设置仿真时间为0到3000。执行结果y''y'ty的二阶导yy的一阶导y的二阶导THANKS！