清华大学2018年自主招生曁领军计划真题

清华大学2018年领军计划测试题注:2018领军数学试题均为不定项选择,以下题目为回忆版本,部分问题选项缺失。1.,,pqr均为素数，且pqrpqr为整数，则（）A.,,pqr中一定有一个是2B.,,pqr中一定有一个是3C.,,pqr中一定有两个数相等D.pqrpqr也为素数【答案】DA项：举反例：3,5,7pqr，此时7pqrpqr；B项：举反例：2,5,7pqr，此时5pqrpqr；C项：由A、B知C项不对；D项：由题意pqr为pqr的因子，而pqr的因子只有1,,,,,,,pqrpqprqrpqr,结合大小关系，可知///pqrpqprqrpqr，不妨设pqr，若pqrpqr，则3pqrpqrr，从而3pq，这是不可能的，故只能//pqrpqprqr这意味着//pqrpqrpqr，均为素数，则D正确。2.,,,,abcde均为素数，且平均数为13，则（）A.中位数最大为17B.中位数最大为19C.中位数最小为5D.中位数最小为7【答案】B平均数为13的五个数之和为65，设中位数的最大值为x，则有365x，从而知x最大为19，又3,5,19,19,19满足要求，故最大值为19；对于最小值，可构造出3,3,3,3,53使得中位数为3，而易证中位数为2不成立，因此最小值为3。3.整数,,xyz满足5xyz，问这样的,,xyz有几组（）A.100B.101C.102D.103【答案】C解法一：若,,xyz中有两个零，共2326C组解；若,,xyz中只有一个零，共11234248CC组解；若,,xyz均非零，共234248C组解。综上，所求解的组数=6+48+48=102组。解法二：若||0x：此时x只能取0，而012345,,,,,543210yyyyyyzzzzzz，共20组；若||1x：此时x可取1，而01234,,,,43210yyyyyzzzzz，共21632组；若||2x：此时x可取2，而0123,,,3210yyyyzzzz，共21224组；若||3x：此时x可取3，而012,,210yyyzzz，共2816组；若||4x：此时x可取4，而01,10yyzz，共248组；若||5x：此时x可取5，而y,z只能都等于0，共2组.综上，所求总组数2032241682102。4.如下图所示，在菱形ABCD中，60BAD，P为BC延长线上一点，APCDE，BEPDQ,AP与ABD外接圆交于F，则（）A.,,,EFDQ四点共圆B.,,,BFPQ四点共圆C.,,,BFCE四点共圆D.,,,CPFD四点共圆【答案】C解：注意到A，B，F，D四点共圆，所以60BFABDA，所以180120BFEBFA，而60BCE，所以180BFEBCE，所以B，F，C，E四点共圆，C项正确。5.P为椭圆1C：22143xy上的动点，过P作1C切线交圆2C：2212xy于M,N，过M,N作2C切线交于Q，则（）A.OPQS的最大值为32B.OPQS的最大值为33C.Q的轨迹是2213648xyD.Q的轨迹是2214836xy【答案】AC解：设点(,)QQQxy，点(,)PPPxy，则过点Q作圆2C的两条切线，切点弦MN所在的直线方程为：12QQxxyy，○1而过椭圆1C上点P处的切线MN所在直线方程为：1341243PPPPxxyyxxyy，○2比较○1○2得3,4QPQPxxyy，○3又点P在椭圆1C上：22143PPxy，○4联立○3○4得2213648QQxy，故C正确，D错误；点(,),(3,4)PPPPPxyQxy，22||916PPOQxy，直线OQ方程为：430PPyxxy，点P到直线OQ距离2222|43|||916916PPPPPPPPPPyxxyxydxyxy，所以11||||22OPQPPSOQdxy，又222212||34343PPPPPPxyxyxy，所以113||||222OPQPPSOQdxy，最大值为32，A正确，B错误.综上，选AC。6.实数,,xyz满足2210414140xyzzxyz，则22xy（）A.最小值为329B.最小值为649C.最大值为8D.最大值为9【答案】AC解：由210xyz得21zxy，代入2414140zxyz得：22(1)7(1)140()5()80xyxyxyxyxyxy，令,xymxyn，则上式等价于2258058mmnnmm，○1实数,xy可看做关于t的一元二次方程20tmtn的两根：240mn，○2联立○1○2得：2284(58)043mmmm222222()221016(5)9xyxyxymnmmm，当4m时，22xy有最大值8；当83m时，22xy有最小值329.综上，选AC。7.,,xyz为正实数，求22222244xyzxxyyyyzz的最大值（）A.136B.132C.118D.116【答案】A解：222222222244244xyzxyyzxxyyyyzzxxyyyyzz111114364242242xyyzxyyzyxzyyxzy，取等条件：4,xyyzyxzy，即22xyz。8.将长为1的线段随机截成三段，问他们能构成三角形的概率（）A.14B.132C.119D.116【答案】A解：设截得的三段长分别为,,xyz，则1xyz，可行域为10101010101101xyzxxyyxyz，如下图所示，可行域面积12OABS，再考虑构成三角形的条件，不妨假设三边中z最大，则构成三角形的约束为111xyzxyzxyxzxyy，作出可行域如上图阴影部分所示，阴影面积1'24S，再考虑到三边中x最大或y最大的概率与z最大概率相同，故所求构成三角形的概率'134OABSPS.9.7个互不相等的素数排成一排，任意相邻的3个和均大于100，问这7个素数的和的最小值（）A.208B.206C.201D.198【答案】A解：不妨设符合要求的一排素数依次是1234567,,,,,,xxxxxxx，则有1234567100,100,2xxxxxxx，711001002202iix，故首先排除C、D选项；注意到A、B选项均为偶数，故这7个素数中必含有2。若42x：注意到123xxx必为奇数，假设123101xxx，由于2是最小的素数，即41xx，则234100xxx，矛盾，所以123103xxx，同理567103xxx，此时71208iix；若42x：由对称性不妨假设123,,xxx中某个等于2，则123102xxx，若43x，必有567103xxx，否则567101xxx时会导致456100xxx产生矛盾，故此时711023103208iix，若45x，此时567101xxx，711025101208iix.综上，71208iix，构造符合要求的排列2,11,89,5,19,79,3，其和为208.10.实数,,abc满足2221abc，求()aabc的最大值（）A.132B.13C.22D.12【答案】A解法一（排除法）：由2221abc得||1a，再由柯西不等式得：222||(111)()3abcabc，所以()||||3aabcaabc，故只能选A.解法二：2()()aabcabca，欲求()aabc的最大值，显然应考虑a与bc同号的情形，不妨设0a：由2221abc可得222222()()2()2(1)aabcabcaabcaaaa令sin(0)2a，则上式等价于22()sinsin2cosaabc1cos22sin213213sin(2arctan)222222。11.如下图所示，在RtABC中，=90ABC，斜边AC上有一点D使得ABAD，E为BC上一点使得BADBDE，求0limBEBC=（）A.23B.25C.34D.2【答案】A解：设||AB，又=90ABC，BAD且ABAD，222DBC，||tanBC，在△DBE中，由于3,,22BDEDBEBED，又可求得||2sin2BD，由正弦定理2sin||||2||sin3sinsinsin2BDBEBEBEDBDE，0002sin2sin3sin2sin222limlimlimcos3tan3sin2BEBC.12.A,B为两个随机事件，(),()0PAPB,问PABPAB的充要条件（）A.()()()PABPAPBB.1()2PABC.12PABD.A,B独立【答案】AD解：PAB表示在事件B发生的条件下事件A不发生的概率，PAB表示在事件B不发生的条件下事件A也不发生的概率；PABPAB表示无论事件B是否发生，事件A不发生的概率不变，即A与B相互独立，故D正确，由相互独立事件的性质知A正确，B、C不正确。13.已知ka1,2,...,7k为和为1的7个非负实数，记123234345456567max,,,,Maaaaaaaaaaaaaaa，求M的最小值（）A.37B.13C.12D.27【答案】B解：假设min13M，则当M取最小值时，12356711,33aaaaaa，又711iia，所以此时413a，进而34513Maaa，矛盾；所以假设不成立，即min13M。取14713aaa，其他23560aaaa，此时13M，故选B。14.记102220012201...xxaaxaxax，求630kka=（）A.92B.192C.93D.193【答案】C解：用数学归纳法容易证明多项式22012(1)...nnnxxaaxaxax展开式右端系数(0,1,2,...,)iain满足：12[][][]33333132000nnniiiiiiaaa所以当10n时，102220012201...xxaaxaxax右端系数满足66633132000kkkkkkaaa，又666201210331320000(111)kkkikkkiaaaa，106930333kka.15.设()(3)xfxex，过点0,a可作()fx的三条切线，则（）A.aeB.3aC.ae或3aD.3ae【答案】D解：可设过点0,a的切线方程为yakx，并设切点为00(,)Pxy，则切点在()yfx上：