洛必达法则的证明

洛必达法则：若实函数00:,fUxR和00:,gUxR在定义域上处处可微，0gx且0gx，00limlim0xxxxfxgx或0limxxgx，极限0limxxfxgx存在或趋于无穷，那么00limlimxxxxfxfxgxgx。证明：为方便证明，设00x，一般情形的证明是类似的。（I）若0limxxfxgx的极限值是有限实数。若设0limxfxagx，根据极限的定义，对任意正数，存在正数，使得当x总有2fxagx(1)若00limlim0xxxxfxgx任取x，令fxfttgxgt。00:,fUxR和00:,gUxR是可微的因而也是连续的，所以t是连续的。因为00limlim0xxxxfxgx，所以0limyfxtgx。所以存在实数y满足y与x同号且yx，使得2fxygx。由柯西中值定理存在介于x和y之间，使得fxfyfygxgyg，所以2ffxggx又x，所以2fag。由三角不等式知22fxfffxaagxgggx所以00limlimxxfxfxagxgx。(2)若0limxgx。任取实数y满足y，任取实数x满足0x、x与y同号且xy。由柯西中值定理，存在实数介于x和y之间，使得fyfxfgygxg。当x时，2fxagx，所以fxgx有界，所以fyfxfgygxg有界。由初等变换得1fxgyfyfyfxgxgxgygxgygx因为0limxgx，所以0lim11xgygx，0lim0xfygygx。所以0x时1fygx和fygygx有界，所以fxgx有界。令fyfxfxxgygxgx，由初等变换得fyfxfxgyfyfxxgygxgxgygxgygx因为0x时fyfxgygx有界，且0lim0xfygygx，所以0lim0xx。所以存在正数y，使得当x时，2fyfxfxxgygxgx。那么由fyfxfgygxg得2ffxggx。又y，故2fag，由三角不等式得22fxffxfaagxggxg所以00limlimxxfxfxagxgx。（II）若0limxfxgx的极限值是无穷大。若设0limxfxgx，根据极限的定义，对任意正数M，存在正数，使得当x总有2fxMgx(1)若00limlim0xxfxgx任取x，令fxfttgxgt。00:,fUxR和00:,gUxR是可微的因而也是连续的，所以t是连续的。因为00limlim0xxfxgx，所以0limyfxtgx。所以存在实数y满足y与x同号且yx，使得fxyMgx。由柯西中值定理存在介于x和y之间，使得fxfyfygxgyg，所以ffxMggx又x，所以faMg。由三角不等式知2fxfffxMMMgxgggx所以00limlimxxfxfxgxgx。(2)若0limxgx。任取实数y满足y，任取实数x满足0x、x与y同号且xy。由初等变换得1fxgyfyfyfxgxgxgygxgygx。因为0limxgx，所以0lim11xgygx，0lim0xfygygx，所以存在正数y，使得当x时213gygx且2fyMgygx。由柯西中值定理，存在实数介于x和y之间，使得fyfxfgygxg。又y，故2fyfxfMgygxg。由三角不等式1222332fxgyfyfyfxgxgxgygxgygxfyfyfxMMMgygxgygx所以00limlimxxfxfxgxgx。