6线性空间与线性变换

上页下页第六章线性空间与线性变换上页下页6.1线性空间的定义与性质定义1设V是一个非空集合，R为实数域，如果对任意两个元素∈V，总有唯一的一个元素∈V与之对应，称为的和，记作；对于任一个数k∈R与任一个元素∈V，总有唯一的一个元素∈V与之对应，称为k与的积，记为；,,k两种运算满足以下八条运算规律（对任意∈V,∈R）：,,,k)1()()()2(上页下页V就称为(实数域R上的)向量空间(或线性空间),V中的元素称为(实)向量(上面的实数域R也可为一般数域).(3)在V中有一个元素0(叫做零元素)，使对任何∈V，都有；0(4)对任何∈V，都有V中的元素，使（称为的负元素）；01)5()()()6(kkkkk)()7(kkk)()8(上页下页凡满足上面八条元素规律的加法及数量乘法称为线性运算；凡定义了线性运算的集合称为向量空间（或线性空间）。•向量不一定是有序数组；•向量空间V对加法与数量乘法（数乘）封闭；•向量空间中的运算只要求满足八条运算规律，不一定是有序数组的加法及数乘运算。注意：例实数域R上次数不超过n的多项式的全体，记为P[x]n，即P[x]n={anxn+…+a1x0+a0|an,an-1,…a1,a0∈R}对于通常的多项式加法、多项式数乘构成R上的向量空间。上页下页例实数域R上次数n的多项式的全体，记为W，即W={anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0|an,an-1,…a1,a0∈R，且an≠0}。W对于通常的多项式加法、多项式数乘不构成R上的向量空间。因为0(anxn+…+a1x0+a0)=0W，即W对数乘不封闭。例n个有序实数组成的数组的全体Sn={x=(x1,x2,…xn)|x1,x2,…xn∈R}对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘k•(x1,x2,…xn)=(0,0,…0)不构成R上的向量空间，因为1x=0，不满足运算规律（5）上页下页性质１零元素是唯一的。假设01,02是线性空间V中的两个零元素，即对任何∈V，有＋01＝，＋02＝，于是特别有02＋01＝02，01＋02＝01故01＝01＋02＝02＋01＝02性质２任一元素的负元素是唯一的。（的负元素记作）假设有两个负元素与，即。于是00)()(0上页下页性质３,00,)1(.00k因为1)01(010所以0)0(0)(000又因为00)]1(1[)1(1)1(所以0])1([)1()()1(0)1(而00)]([)(])1([0kkkkkk上页下页定义2R上线性空间V的一个非空子集合W如果对于V的两种运算也构成数域R上的线性空间，称W为V的线性子空间（简称子空间）。定理1线性空间V的非空子集W构成V的子空间的充分必要条件是W对于V中的两种运算封闭。性质4如果,那么或者。假设，那么001)(1)1(1kkakakkaa0k0k00k上页下页6.2维数、基与坐标如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V就称为无限维的。维数为n的线性空间称为n维线性空间，记作Vn。定义3在线性空间V中，如果存在n个元素满足：(2)V中任一元素都可由线性表示，那么，就称为线性空间V的一个基，n称为线性空间V的维数。(1)线性无关。,,,21nn,,21n,,21n,,21上页下页这样，Vn的元素与有序数组(x1,x2,…xn)之间存在着一种一一对应。若知为V的一个基，则对任何，都有一组有序数x1,x2,…xn使：并且这组数是唯一的(否则线性相关)。n,,21V,2211nnxxxn,,21反之，任给一组有序数x1,x2,…xn，可唯一确定Vn中元素：,2211nnxxx上页下页定义4设是线性空间Vn的一个基，对于任一元素，有且仅有一组有序数x1,x2,…xn使x1,x2,…xn这组有序数就称为在基下的坐标，记作(x1,x2,…xn)。n,,21nV,2211nnxxxn,,21上页下页例在线性空间P[x]3中，就是P[x]3的一个基，P[x]3的维数是4，P[x]3中的任一多项式342321,,,1xxx012233)(axaxaxaxf可写成10213243)(aaaaxf因此f(x)在基下的坐标为4321,,,),,,(3210aaaa上页下页在线性空间Vn中取定一个基，则Vn中的向量与n维数组向量空间Rn中的向量(x1,x2,…xn)之间有一个一一对应的关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，即设,；则(1)；(2)。可以说Vn与Rn有相同的结构，称为Vn与Rn同构。n,,21),,,(21nxxx),,,(21nyyy),,,(),,,(2121nnyyyxxx),,,(21nxxxkk一般地，设V与U是R上的两个线性空间，如果在它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，那么就说线性空间V与U同构。上页下页同构主要是保持线性运算的对应关系，因此，Vn中的线性运算就可转化为Rn中的线性运算，并且Rn中凡只涉及线性运算的性质都适用于Vn，但Rn中超出线性运算的性质，在Vn中就不一定具备，如内积。定理2R上的两个有限维线性空间同构当且仅当它们的维数相等。上页下页6.3基变换与坐标变换不同基与不同的坐标之间的关系设及是线性空间Vn的两个基，且n,,,21n,,,21.,,22112222112212211111nnnnnnnnnnacacacacacacacacac上页下页.),,,(),,,(),,(212122221112112121Caaacccccccccaaannnnnnnnn上两式称为基变换公式.或表示为矩阵C称为到的过渡矩阵，C一定是可逆矩阵。n,,,21n,,,21上页下页定理3设Vn中的元素在基下的坐标为（），在基下的坐标为（），若两个基满足基变换公式的第二式，则有坐标变换公式nnnnxxxCxxxxxxCxxx211212121,或n,,,21n,,,21nxxx,,,21nxxx,,,21上页下页6.4线性变换定义5设A、B是两非空集合，如果对于A中的任一元素，按照一定的法则，总有B中的一个确定的元素与之对应，那么这个法则称为从集合A到集合B的映射，如果A=B，A到A的映射称为A的变换。映射常用表示，A的变换常用T表示。A到B的映射使B中的与A中的对应，就记或)(称为在映射下的像，称为在下的原像.上页下页的像的全体构成的集合称为的像集，记作(A)，即AA)()(例设A=R,B=R+,(x)=x2+3是R到R+的一个映射,它把x映射到x2+3,7是-2在下的像.上页下页例在线性空间P[x]3中，微分运算D是一个线性变换。),()()(')(')]'()([)]()([xDgxDfxgxfxgxfxgxfD因定义6设U,V是R上的两个线性空间，是V到U上的一个映射，如果满足(1)；(2),那么，就称为V到U的线性映射。)()()(,,)()(,,kkRk当V=U时，V到U的线性映射称为V的线性变换。).()(')]'([)]([xkDfxkfxkfxkfD上页下页线性变换的性质)()(,0)0()1(TTTmmmmTkTkTkTkkk22112211,)2(则若(4)线性变换T的像集是V的子空间，称为T的像空间。(3)若线性相关，则也线性相关。m,,,21mTTT,,,21也是V的子空间，称为线性变换T的核，记为T-1(0).0,0)5(TVT的全体的使上页下页,),,,(21222211121121nnnnnnnaaaaaaaaaA例设有n阶方阵.),()(:.,,2,1,21中的线性变换为则为中的变换定义其中nnnniiiiRTRxAxxTTRniaaa.),()()();()()()(,,,中的线性变换为故有设证nnRTkTkAkAkTTTAAATRkR上页下页,21nnRxxxx设,),,,(22112121nnnnxxxxxxAxTx因.0)0(,,,,121的解空间是齐次线性方程组的核生成的向量空间的像空间是由可见AxTTTn上页下页6.5线性变换的矩阵(1)设是线性空间Vn的一个基，如果Vn的线性变换T与T'在这组基上的作用相同，即那么，T=T'.n,,,21niTTii,,2,1,证T与T'相等的意义是它们对Vn的每个向量的作用相同，即VTT,,2211iixxx设TTxTxTxTxTxTxTiiii22112211上页下页(2)设是线性空间Vn的一个基，对于Vn任意一组向量，一定有一个线性变换T使n,,,21n,,,21niTii,,2,1,证设，作变换TnnnVxxx2211nnxxxT2211容易验证T是Vn的线性变换，且iniiT0101上页下页定理4设是线性空间Vn的一个基，是Vn中任意n个向量，则存在唯一的线性变换T使n,,,21n,,,21niTii,,2,1,)(),,(2121niTTTT记定义7设是线性空间Vn的一个基，T是Vn的一个线性变换，基向量的像可以被基线性表出：nnnnnnnnnnaaaTaaaTaaaT22112222112212211111n,,,21上页下页用矩阵来表示其中nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211ATTTTini),,()(),,(212121矩阵A称为T在基下的矩阵。n,,,21因线性无关，aij是由T唯一确定的。可见A由T唯一确定。n,,,21上页下页给定一个方阵A，定义变换T:,),,,(),,,(21212121nnnnxxxAxxxTTnnxxx2211其中T是有n阶矩阵A确定的线性变换，且T在基下的矩阵是A.n,,,21在Vn中取定一个基后，Vn的线性变换与n阶矩阵之间，有一一对应的关系。上页下页43212443213432124321103003