北师大数学七上有理数的乘方、混合运算及科学记数法(提高)

有理数的乘方、混合运算及科学记数法（提高）【学习目标】1．理解有理数乘方的定义；2.掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；3.进一步掌握有理数的混合运算.4.会用科学记数法表示大数.【要点梳理】要点一、有理数的乘方定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．即有：naaaan个.在na中，a叫做底数，n叫做指数．要点诠释：（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．要点二、乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如2a≥0．要点诠释：(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．(2)任何数的偶次幂都是非负数．要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点诠释：(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．(3)在运算过程中注意运算律的运用．要点四、科学记数法把一个大于10的数表示成10na的形式（其中a是整数数位只有一位的数，l≤|a|10，n是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如42000000＝74.210.要点诠释：（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如-3000=3310；（2）把一个数写成10na形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.【典型例题】类型一、有理数的乘方1．（2016•虞城县一模）下列各数：①﹣12；②﹣（﹣1）2；③﹣13；④（﹣1）2，其中结果等于﹣1的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④【思路点拨】原式各项计算得到结果，即可作出判断．【答案】A．【解析】解：①﹣12=﹣1，符合题意；②﹣（﹣1）2=﹣1，符合题意；③﹣13=﹣1，符合题意；④（﹣1）2=1，不符合题意．故选A．【总结升华】注意()na与na的意义的区别．22()nnaa（n为正整数），2121()nnaa（n为正整数）．举一反三：【变式】已知2a，且24a，则3a的倒数的相反数是．【答案】18类型二、乘方运算的符号法则2．不做运算，判断下列各运算结果的符号．(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，553，-(-2)2010【思路点拨】理解乘方的意义，掌握乘方的符号法则．【答案与解析】解：根据乘方的符号法则判断可得：(-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；553运算的结果是正；-(-2)2010运算的结果是负．【总结升华】“一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0，指数不为０时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负．举一反三：【变式】（2015春•富阳市校级期中）计算（﹣2）2015+（﹣2）2014所得的结果是（）A．﹣2B．2C．﹣22014D．22015【答案】C．解：（﹣2）2015+（﹣2）2014=（﹣2）2014（﹣2+1）=22014×（﹣1）=﹣22014.类型三、有理数的混合运算3．计算：（1）-(-3)2+(-2)3÷[(-3)-(-5)]（2）[73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214)（3）3112222233；（4）2311113121121324424340.2【答案与解析】解：（1）-(-3)2+(-2)3÷[(-3)-(-5)]＝-9+(-8)÷(-3+5)＝-9+(-8)÷2＝-9+(-4)＝-13（2）[73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214)＝(7×72-6×72-1)÷(-214+214-24)＝[72×(7-6)-1]÷(-24)＝(49-1)÷(-24)＝-2（3）有绝对值的先去掉绝对值，然后再按混合运算.原式11221111[(2)]82338324（4）将带分数化为假分数，小数化为分数后再进行运算.23311113121121324424340.215457551()()241162434()5125724241251652316056125403912040【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提．类型四、科学记数法4．（2015•酒泉）中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨．将数67500用科学记数法表示为（）A．0.675×105B．6.75×104C．67.5×103D．675×102【思路点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【答案】B．将67500用科学记数法表示为：6.75×104．【总结升华】将一个绝对值较大的数写成科学记数法10na的形式时，其中1≤|a|＜10，n为比整数位数少1的数．在进行运算时，a部分和10n的部分分别运算，然后再把结果整理成10na的形式．类型五、探索规律5．下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：11122；第2个数：2311(1)(1)1113234；第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456；…第n个数：232111(1)(1)(1)111112342nnn…．那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（）．A．第10个数B．第11个数C．第12个数D．第13个数【答案】A【解析】第1个数结果为11022；第2个数结果为111326；第3个数结果为111424；…；发现运算中在112后边的各式为43653456…，分子、分母相约为1，所以第n个数结果为1112n，把第10、11、12、13个数分别求出，比较大小即可．【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循．举一反三：【变式】观察下面三行数：①-3，9，-27，81，-243，729，…②0，12，-24，84，-240，732，…③-1，3，-9，27，-81，243，…(1)第①行数按什么规律排列?(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系?(3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和．【答案】解：(1)第①行数的规律是：-3，(-3)2，(-3)3，(-3)4，…；(2)第②行数是第①行数相应的数加3，即：-3+3，(-3)2+3，(-3)3+3，(-3)4+3，…；第③行数是第①行数相应的数的13，即133，21(3)3，31(3)3，41(3)3，…；(3)每行数中的第10个数的和是：1010101(3)[(3)3](3)359049+59052+19683＝137784．【巩固练习】一、选择题1．下列说法中，正确的个数为()．①对于任何有理数m，都有m2＞0；②对于任何有理数m，都有m2＝(－m)2；③对于任何有理数m、n(m≠n)，都有(m－n)2＞0；④对于任何有理数m，都有m3＝(－m)3．A．1B．2C．3D．02.（2015春•句容市校级期中）与算式22+22+22+22的运算结果相等的是（）A．24B．82C．28D．2163．设234a，2(34)b，2(34)c，则a、b、c的大小关系为（）．A．a＜c＜bB．c＜a＜bC．c＜b＜aD．a＜b＜c4．（2016•朝阳区校级模拟）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…根据上述算式中的规律，你认为220的末位数字是（）A．2B．4C．6D．85．现规定一种新的运算“*”，a*b＝ab，如3*2＝32＝9，则1*32等于（）．A．18B．8C．16D．326．“全民行动，共同节约”，我国13亿人口如果都响应国家号召每人每年节约1度电，一年可节约电1300000000度，这个数用科学记数法表示，正确的是()．A．1.30×109B．1.3×109C．0.13×1010D．1.3×10107．计算2223113(2)32的结果是（）．A．-33B．-31C．31D．33二、填空题8．对于大于或等于2的自然数n的平方进行如下“分裂”，分裂成n个连续奇数的和，则自然数82的分裂数中最大的数是________________．9．为改善学生的营养状况，中央财政从2011年秋季学期起，为试点地区在校生提供营养膳食补助，一年所需资金约为160亿元，用科学记数法表示为．10．若2120ab，则22003aba．11．（2016春•张掖校级月考）如图是一个计算程序，若输入的值为﹣1，则输出的结果应为．12．如果有理数m、n满足0m，且20mn，则2nm．13.（2015春•濮阳校级期中）看过西游记的同学都知道：孙悟空会分身术，他摇身一变就变成2个悟空；这两个悟空摇身一变，共变成4个悟空；这4个悟空再变，又变成8个悟空…假设悟空一连变了30次，那么会有个孙悟空．三、解答题14．计算：(1)19812(16)44(2)5115124(3)3521(3)233131(2)2422(4)-9+5×(-6)-(-4)2÷(-8)(5)25221(1)31(2)3315．用简便方法计算：(1)3173156060605212777；(2)22111311115342163．16.（2015•宜兴市期末）阅读并回答下列问题．在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人﹣﹣宰相西萨•班•达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少呢？即求：1+2+22+23+24+…+263的值．如何求它的值呢？设s=1+2+22+23+24+…+263；则2s=2（1+2+22+23+24+…+263）=2+22+23+