不等关系与不等式的性质

第41讲不等关系与不等式的性质1．了解不等式的概念，理解不等式的性质．2．会比较两个代数式的大小．3．会利用不等式的性质解决有关问题．1．不等式的定义用不等号“、≥、、≤、≠”将两个数学表达式连接起来，所得的式子叫不等式．2．两个实数的大小比较(1)作差法．设a，b∈R，则a－b0⇔；a－b0⇔；a－b＝0⇔.(2)作商法．设a0，b0，则ab1⇔；ab＝1⇔；ab1⇔.ababa＝baba＝bab3．不等式的基本性质①对称性：ab⇔；②传递性：ab，bc⇒；③可加性：ab⇒；④不等式加法：ab，cd⇒；⑤可乘性：ab，c0⇒；c0⇒；⑥不等式乘法：ab0，cd0⇒；⑦不等式乘方：ab0⇒(n∈N，n1)；⑧不等式开方：ab0⇒(n∈N，n1).baaca＋cb＋ca＋cb＋dacbcacbcacbd1．倒数性质(1)ab，ab0⇒1a1b；(2)a0b⇒1a1b.2．分数性质若ab0，m0，则(1)真分数性质：bab＋ma＋m；bab－ma－m(b－m0)；(2)假分数性质：aba＋mb＋m；aba－mb－m(b－m0)．1．某地规定本地最低生活保障金不低于300元，若最低保障金用W表示，则上述关系可以表示为()A．W300B．W≥300C．W300D．W≤300答案：B2．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是()A.f(x)g(x)B．f(x)＝g(x)C．f(x)g(x)D．随x的值的变化而变化解：因为f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋10，所以f(x)g(x)．答案：Ａ3．“a＋cb＋d”是“ab且cd”的()A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：ab且cd⇒a＋cb＋d.当取a＝1，b＝2，c＝5，d＝3时，满足a＋cb＋d，但不能推出ab且cd，故选A.答案：A4．若ab0，cd0，则一定有()A.acbdB.acbdC.adbcD.adbc解：由cd0，cd0⇒1d1c0，所以1－d1－c0，又ab0，所以－ad－bc，所以adbc.答案：D5．(2017·北京卷)能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a＋b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为.解：只要取一组满足条件的整数即可．如－1，－2，－3；－3，－4，－6；－4，－7，－10等．答案：－1，－2，－3(答案不唯一)比较大小判断或证明大小关系不等式性质的应用考点一·比较大小【例1】设xy0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．解：因为(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[x2＋y2－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)，因为xy0，所以xy0，x－y0，所以－2xy(x－y)0.所以(x2＋y2)(x－y)(x2－y2)(x＋y)．点评：比较大小的方法有作差法和作商法．①作差法：作差→变形→判断符号→结论．其中关键是变形，变形的方法有分解因式、配方、通分等．②作商法：作商→变形→判断与1的大小关系→结论．【变式探究】1．(2017·新课标卷Ⅰ·理)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()A．2x3y5zB．5z2x3yC．3y5z2xD．3y2x5z解：令t＝2x＝3y＝5z，因为x，y，z为正数，所以t＞1.则x＝log2t＝lgtlg2，同理，y＝lgtlg3，z＝lgtlg5.所以2x－3y＝2lgtlg2－3lgtlg3＝lgt2lg3－3lg2lg2×lg3＝lgtlg9－lg8lg2×lg3＞0,所以2x＞3y.又因为2x－5z＝2lgtlg2－5lgtlg5＝lgt2lg5－5lg2lg2×lg5＝lgtlg25－lg32lg2×lg5＜0，所以2x＜5z，所以3y＜2x＜5z.考点二·判断或证明大小关系【例2】下列命题：①若ab，则a2b2；②若ab0，cd0，则adbc；③已知a，b，m都是正数，并且ab，则a＋mb＋mab；④若ab，则a3b3.其中，真命题的序号是__________解：对于①，令a＝1，b＝－2有ab，但a2b2不成立．故①为假命题．对于②，因为cd0，1cd0，所以1d1c，又ab0，所以adbc0，所以adbc.故②为真命题．对于③，因为a＋mb＋m－ab＝mb－ab＋mb0.所以a＋mb＋mab，即③为真命题．对于④，因为y＝x3在(－∞，＋∞)上是增函数，所以当ab时，a3b3.所以④为真命题．答案：②③④点评：(1)要判断一个不等式不成立，只需举出一个反例即可．而要判断一个不等式成立，一般需要证明．(2)判断大小关系，常用的方法有：①利用不等式的性质；②利用比较法(如作差法或作商法)；③利用函数的单调性或借助函数的图象．【变式探究】2．设ab1，c0，给出下列三个结论：①cacb；②acbc；③logb(a－c)loga(b－c)．其中正确结论的序号是.解：①(方法一：利用不等式性质)由ab1，1ab0，得1b1a，又c0，所以cacb，故①正确．(方法二：利用作差比较法)因为ca－cb＝cb－aab0，所以cacb.故①正确．②(方法一：利用作商比较法)因为ab1，所以ab1，c0，所以acbc＝(ab)c1，所以acbc.所以②正确．(方法二：利用函数的性质)由幂函数y＝xc(c0)在(0，＋∞)上是减函数可知，当ab1时，acbc，故②正确．③因为ab1，又c0，所以a－cb－c，由对数函数的性质得：logb(a－c)loga(a－c)loga(b－c)，故③正确．考点三·不等式性质的应用【例3】若变量x，y满足约束条件3≤2x＋y≤9，6≤x－y≤9，则z＝x＋2y的最小值为__________．分析：本题一般采用线性规划知识进行求解，也可用不等式的性质求解．因为2x＋y，x－y的范围已经给出，若能将x＋2y用2x＋y，x－y表示，则可利用2x＋y与x－y的范围求出x＋2y的范围，利用不等式的性质进行求解，可化繁为简，迅速得到结果．解：因为x＋2y＝(2x＋y)＋y－x，而3≤2x＋y≤9，－9≤y－x≤－6，所以－6≤x＋2y≤3，当2x＋y＝3，y－x＝－9，即x＝4，y＝－5时取到左边等号，所以z的最小值为－6.答案：－6点评：(1)不等式的性质中，同向不等式可以作加法运算，正的同向不等式可以作乘法运算．但如果涉及到等号，能否取到最值，则要同时满足各个取等号的条件，这一点要特别注意．本题中，2x＋y与x－y中的x，y不是独立的，而是相互制约的，因此，可把2x＋y与x－y看作一个整体，把x＋2y用2x＋y，x－y表示，再求出x＋2y的取值范围．即先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算，求得整体的范围．(2)将x＋2y用2x＋y，x－y表示时，若不能直接观察得到，可采用待定系数法，设x＋2y＝m(2x＋y)＋n(x－y)，再比较得到m＝1，n＝－1.【变式探究】3．(2016·北京卷)若x,y满足2x－y≤0，x＋y≤3，x≥0，则2x＋y的最大值为()A.0B.3C.4D.5解：2x＋y＝13(2x－y)＋43(x＋y)≤13×0＋43×3＝4.当且仅当2x－y＝0，x＋y＝3，即x＝1，y＝2时取等号,满足x≥0,所以(2x＋y)max＝4.1．比较数(式)的大小，常采用：(1)作差法，具体步骤：作差→变形→判断(与0比较)→结论；(2)作商法，具体步骤：作商→变形→判断(与1比较)→结论，必须注意分母的符号．2．运用不等式的基本性质解决不等式问题，要注意不等式成立的条件．有关判断性命题，主要依据是不等式的概念和性质．一般地，要判断一个命题为真命题，必须严格证明，要判断一个命题是假命题，只需举出反例，或者由题设中条件推出与结论相反的结果．3．求范围问题：(1)差的范围转化为和的范围．axbcyd⇒axb－d－y－c⇒a－dx－yb－c.这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到．(2)商的范围转化为积的范围．(3)由M1f1(x，y)N1，M2f2(x，y)N2，求g(x，y)的范围．常令g(x，y)＝mf1(x，y)＋nf2(x，y)，用恒等关系求出m，n，再利用同向不等式相加求得范围．点击进入WORD链接