同济大学(高等数学)-第八章-向量代数与解析几何

1第五篇向量代数与空间解析几何第八章向量代数与空间解析几何解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何的问题，为了把代数运算引入几何中来，最根本的做法就是设法把空间的几何结构有系统的代数化，数量化.平面解析几何使一元函数微积分有了直观的几何意义，所以为了更好的学习多元函数微积分，空间解析几何的知识就有着非常重要的地位.本章首先给出空间直角坐标系，然后介绍向量的基础知识，以向量为工具讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.第1节空间直角坐标系1.1空间直角坐标系用代数的方法来研究几何的问题，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现.1.1.1空间直角坐标系过定点O，作三条互相垂直的数轴，这三条数轴分别叫做x轴(横轴）、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)，它们都以O为原点且具有相同的长度单位.通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则：右手握住z轴，当右手的四指从x轴的正向转过2角度指向y轴正向时，大拇指的指向就是z轴的正向，这样就建立了一个空间直角坐标系（图8-1），称为Oxyz直角坐标系，点O叫做坐标原点.图8-1在Oxyz直角坐标系下，数轴Ox,Oy,Oz统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为xOy，yOz，zOx，三个坐标平面将空间分为八个部分，每一部分叫做一个卦限（图8-2），分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.yxzO2图8-21.1.2空间点的直角坐标设M为空间中的任一点，过点M分别作垂直于三个坐标轴的三个平面，与x轴、y轴和z轴依次交于A、B、C三点，若这三点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x，y，z，于是点M就唯一确定了一个有序数组(,,)xyz，则称该数组(,,)xyz为点M在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，如图8-3．x，y，z分别称为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标．图8-3反之，若任意给定一个有序数组(,,)xyz，在x轴、y轴、z轴上分别取坐标为x，y，z的三个点A、B、C，过这三个点分别作垂直于三个坐标轴的平面，这三个平面只有一个交点M，该点就是以有序数组(,,)xyz为坐标的点，因此空间中的点M就与有序数组(,,)xyz之间建立了一一对应的关系．注：A、B、C这三点正好是过M点作三个坐标轴的垂线的垂足．yxzOyxzABC(,,)Mxyz31.2空间中两点之间的距离设两点111(,,)Mxyz，222(,,)Nxyz，则M与N之间的距离为212212212)()()(zzyyxxd（8-1-1）事实上，过点M和N作垂直于xOy平面的直线，分别交xOy平面于点1M和1N，则1MM∥1NN，显然，点1M的坐标为11(,,0)xy，点1N的坐标为22(,,0)xy（如图8-4）．图8-4由平面解析几何的两点间距离公式知，1M和1N的距离为：21221211)()(||yyxxNM．过点M作平行于xOy平面的平面，交直线1NN于2N，则11MN∥2MN，因此2N的坐标为221(,,)xyz，且212212112)()(||||yyxxNMMN，在直角三角形NMN2中，||||122zzNN，所以点M与N间的距离为2122122122222)()()(||||zzyyxxNNMNd．例1设(1,2,0)A与(1,0,2)B为空间两点，求A与B两点间的距离．解由公式（8-1-1）可得，A与B两点间的距离为222[1(1)](02)(20)22d．yOMxN1M1N2N1P2P1Q2Q1R2R4例2在z轴上求与点(3,5,2)A和(4,1,5)B等距的点M．解由于所求的点M在z轴上，因而M点的坐标可设为(0,0,)z，又由于MAMB，由公式（8-1-1），得222222)5(1)4()2(53zz．从而解得72z，即所求的点为2(0,0,)7M．习题8-11．讨论空间直角坐标系的八个卦限中的点的坐标的符号．2．在坐标轴上的点和在坐标平面上的点的坐标各有何特点？3．在空间直角坐标系中，画出下列各点：(2,0,0)A；(0,3,0)B；(3,0,1)C；(3,2,1)D．4．求点(1,2,3)关于各坐标平面对称的点的坐标．5．求点(1,2,3)关于各坐标轴对称的点的坐标．6．求下列各对点间的距离：(1)(0,1,3)A与(2,1,4)B；(2)(1,4,2)C与D(2,7,3)．7．在坐标平面yOz上求与三点(3,1,2)A、(4,2,2)B和(0,5,1)C等距的点．8．求点(12,3,4)A与原点、各坐标平面和各坐标轴的距离．9.证明以A4,3,1,B7,1,2,C5,2,3为顶点的三角形△ABC是一等腰三角形.5第2节空间向量的代数运算2.1空间向量的概念在日常生活中，我们经常会遇到一些量，如质量、时间、面积、温度等，它们在取定一个度量单位后，就可以用一个数来表示．这种只有大小没有方向的量，叫做数量（或标量）．但有一些量，如力、位移、速度、电场强度等，仅仅用一个实数是无法将它们确切表示出来，因为它们不仅有大小，而且还有方向，这种既有大小又有方向的量，叫做向量（或矢量）．在数学上，我们用有向线段AB来表示向量，A称为向量的起点，B称为向量的终点，有向线段的长度就表示向量的大小，有向线段的方向就表示向量的方向．通常在印刷时用黑体小写字母a，b，c，…来表示向量，手写时用带箭头的小写字母,,,abc来记向量.向量的长度称为向量的模，记作a或AB，模为1的向量叫做单位向量，模为0的向量叫做零向量，记作0，规定：零向量的方向可以是任意的．本章我们讨论的是自由向量，即只考虑向量的大小和方向，而不考虑向量的起点，因此，我们把大小相等，方向相同的向量叫做相等向量，记作a=b.规定：所有的零向量都相等.与向量a大小相等，方向相反的向量叫做a的负向量(或反向量)，记作a．平行于同一直线的一组向量称为平行向量（或共线向量）．平行于同一平面的一组向量，叫做共面向量，零向量与任何共面的向量组共面.2.2向量的线性运算2.2.1向量的加法我们在物理学中知道力与位移都是向量，求两个力的合力用的是平行四边形法则，我们可以类似地定义两个向量的加法．定义1对向量a，b，从同一起点A作有向线段AB、AD分别表示a与b，然后以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD，则我们把从起点A到顶点C的向量AC称为向量a与b的和（图8-5），记作a+b．这种求和方法称为平行四边形法则．ababa+bABCDabc=a+b6图8-5图8-6若将向量b平移，使其起点与向量a的终点重合，则以a的起点为起点，b的终点为终点的向量c就是a与b的和(图8-6），该法则称为三角形法则．多个向量，如a、b、c、d首尾相接，则从第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量就是它们的和a+b+c+d（图8-7）．图8-7对于任意向量a，b，c，满足以下运算法则：(1)a+b=b+a(交换律)．(2)()()a+b+c=a+b+c(结合律)．(3)0a+=a．2.2.2向量的减法定义2向量a与b的负向量b的和，称为向量a与b的差，即()ab=a+b．特别地，当b=a时，有()0a+a=.由向量减法的定义，我们从同一起点O作有向线段OA，OB分别表示a，b，则()OAOBOAOBab=OABOBA．也就是说，若向量a与b的起点放在一起，则a，b的差向量就是以b的终点为起点，以a的终点为终点的向量（图8-8）．图8-82.2.3数乘向量abcda+b+c+daabbabBAC7定义3实数与向量a的乘积是一个向量，记作a，a的模是a，方向：当0时，a与a同向；当0时，a与a反向；当0时，0a=．对于任意向量a，b以及任意实数，，有运算法则：(1)()()a=a．(2)()+a=aa．(3)()+ab=ab．向量的加法、减法及数乘向量运算统称为向量的线性运算，a+b称为a，b的一个线性组合(,)R．特别地，与a同方向的单位向量叫做a的单位向量，记做ae，即aaea.上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.例1如图8-9，在平行六面体///ABCDBCD/—A中，设/=AA,aADbABc,试用,,abc来表示对角线向量//,.ACACaC'B'A'D'DABC图8-9解''ACABBCCC'ABBCAAabc；'''ACAAABBCAAABADabc.由于向量a与a平行，所以我们通常用数与向量的乘积来说明两个向量的平行关系.即有,定理1向量a与非零向量b平行的充分必要条件是存在一个实数，使得a=b.2.3向量的坐标表示2.3.1向量在坐标轴上的投影8设A为空间中一点，过点A作轴u的垂线，垂足为'A，则'A称为点A在轴u上的投影(图8-10)．图8-10若M为空间直角坐标系中的一点，则M在x轴、y轴、z轴上的投影为A、B、C，如图8-11所示．图8-11设向量AB的始点A与终点B在轴u的投影分别为A、B，那么轴u上的有向线段AB的值AB叫做向量AB在轴u上的投影，记作uprjABAB，轴u称为投影轴.图8-12当AB与轴u同向时，投影取正号，当AB与轴u反向时，投影取负号．注(1)向量在轴上投影是标量．(2)设MN为空间直角坐标系中的一个向量，点M的坐标为111(,,)xyz，点N的坐标yxzOABCM9为222(,,)xyz，显然，向量MN在三个坐标轴上的投影分别为12xx，12yy，12zz．2.3.2向量的坐标表示取空间直角坐标系Oxyz，在x轴、y轴、z轴上各取一个与坐标轴同向的单位向量，依次记作,,ijk，它们称为坐标向量．空间中任一向量a，它都可以唯一地表示为,,ijk数乘之和．事实上，设MNa=，过M、N作坐标轴的投影，如图8-13所示．MN=MA+AP+PN=MA+MB+MCa=．由于MA与i平行，MB与j平行，MC与k平行，所以，存在唯一的实数,,xyz，使得MAxi，MByj，MCzk，即xyza=i+j+k．(8-2-1)图8-13我们把(8-2-1)式中,,ijk系数组成的有序数组(,,)xyz叫做向量a的直角坐标，记为{,,}xyza=，向量的坐标确定了，向量也就确定了．显然，(8-2-1)中的,,xyz是向量a分别在x轴、y轴、z轴上的投影．因此，在空间直角坐标系中的向量a的坐标就是该向量在三个坐标轴上的投影组成的有序数组．xyzOMNCBAPijk10例2在空间直角坐标系中设点(3,1,5)M，(2,3,1)N，求向量MN及NM的直角坐标．解由于向量的坐标即为向量在坐标轴上的投影组成的有序数组，而向量的各投影即为终点坐标与起点坐标对应分量的差．所以向量MN的坐标为{5,4,4}，向量NM的坐标为{5,4,4}．例3(定比分点公式)设111(,,)Axyz111(,,)Axyz和222(,,)Bxyz为两已知点，有向线段AB上的点M将它分为两条有向线段AM和MB，使它们的值的比等于数(1)，即AMMB，求分点(,,)Mxyz的坐标.图8-14解如图8-14，因为AM与MB在同一直线上，且同方向，故AMMB，而122{,,}AMxxyyzz，222{,,}MBxxyyzz222{(),(),()}MBxxyyzz所以12()xxxx，12()yyyy，12()zzzz解得121212,,.111xxyyzzxyz当1点M的有向线段AB的中点其坐标为221xxx221yyy221zzz2.3.3向量的模与方向余弦的坐标表示式110RPQM1M2xyz