知识要点-空间直角坐标系

1第5讲空间直角坐标系★知识梳理★1.右手直角坐标系①右手直角坐标系的建立规则：x轴、y轴、z轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、中指；②已知点的坐标),,(zyxP作点的方法与步骤（路径法）：沿x轴正方向（0x时）或负方向（0x时）移动||x个单位，再沿y轴正方向（0y时）或负方向（0y时）移动||y个单位，最后沿x轴正方向（0z时）或负方向（0z时）移动||z个单位，即可作出点③已知点的位置求坐标的方法：过P作三个平面分别与x轴、y轴、z轴垂直于CBA,,，点CBA,,在x轴、y轴、z轴的坐标分别是cba,,，则),,(cba就是点P的坐标2、在x轴上的点分别可以表示为),0,0(),0,,0(),0,0,(cba，在坐标平面xOy，xOz，yOz内的点分别可以表示为),,0(),,0,(),0,,(cbcaba;3、点),,(cbaP关于x轴的对称点的坐标为),,(cba点),,(cbaP关于y轴的对称点的坐标为),,(cba；点),,(cbaP关于z轴的对称点的坐标为),,(cba；点),,(cbaP关于坐标平面xOy的对称点为),,(cba；点),,(cbaP关于坐标平面xOz的对称点为),,(cba；点),,(cbaP关于坐标平面yOz的对称点为),,(cba；点),,(cbaP关于原点的对称点),,(cba。4.已知空间两点),,(),,(222111zyxQzyxP，则线段PQ的中点坐标为)2,2,2(212121zzyyxx25．空间两点间的距离公式已知空间两点),,(),,(222111zyxQzyxP，则两点的距离为221221221)()()(||zzyyxxPQ，特殊地,点),,(zyxA到原点O的距离为222||zyxAO;5．以),,(000zyxC为球心,r为半径的球面方程为2202020)()()(rzzyyxx特殊地,以原点为球心,r为半径的球面方程为2222rzyx★重难点突破★重点:了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置，会推导和使用空间两点间的距离公式难点:借助空间想象和通过与平面直角坐标系的类比，认识空间点的对称及坐标间的关系重难点:在空间直角坐标系中，点的位置关系及空间两点间的距离公式的使用1．借助空间几何模型进行想象，理解空间点的位置关系及坐标关系问题1：点),,(cbaP到y轴的距离为[解析]借助长方体来思考，以点PO,为长方体对角线的两个顶点，点),,(cbaP到y轴的距离为长方体一条面对角线的长度，其值为22ca2．将平面直角坐标系类比到空间直角坐标系问题2：对于任意实数,,xyz，求222222(1)(2)(1)xyzxyz的最小值[解析]在空间直角坐标系中，222222(1)(2)(1)xyzxyz表示空间点(,,)xyz到点(0,0,0)的距离与到点(1,2,1)的距离之和，它的最小值就是点(0,0,0)与点(1,2,1)之间的线段长，所以222222(1)(2)(1)xyzxyz的最小值为6。3．利用空间两点间的距离公式，可以解决的几类问题(1)判断两条相交直线是否垂直(2)判断空间三点是否共线3(3)得到一些简单的空间轨迹方程★热点考点题型探析★考点1:空间直角坐标系题型1:认识空间直角坐标系[例1]（1）在空间直角坐标系中，ya表示（）A．y轴上的点B．过y轴的平面C．垂直于y轴的平面D．平行于y轴的直线（2）在空间直角坐标系中，方程xy表示A．在坐标平面xOy中，1，3象限的平分线B．平行于z轴的一条直线C．经过z轴的一个平面D．平行于z轴的一个平面【解题思路】认识空间直角坐标系,可以类比平面直角坐标系,如在平面直角坐标系坐标系中,方程1x表示所有横坐标为1的点的集合[解析]（1）ya表示所有在y轴上的投影是点)0,,0(a的点的集合，所以ya表示经过点)0,,0(a且垂直于y轴的平面（2）方程xy表示在任何一个垂直于z轴的一个平面内，1，3象限的平分线组成的集合【名师指引】(1)类比平面直角坐标系,可以帮助我们认识空间直角坐标系(2)要从满足某些特殊条件的点的坐标特征去思考问题。如：经过点)0,0,(a且垂直于x轴的平面上的点都可表示为),,(zya题型2:空间中点坐标公式与点的对称问题[例2]点),,(cbaP关于z轴的对称点为1P，点1P关于平面xOy的对称点为2P，则2P的坐标为【解题思路】类比平面直角坐标系中的对称关系，得到空间直角坐标系中的对称关系[解析]因点P和1P关于z轴对称,所以点P和1P的竖坐标相同,且在平面xOy的射影关于原点对称,故点1P的坐标为),,(cba,又因点1P和2P关于平面xOy对称,所以点2P坐标为),,(cba【名师指引】解决空间点的对称问题,一要借助空间想象,二要从它们在坐标平面的射影找4关系,如借助空间想象,在例2中可以直接得出点2P为点),,(cbaP关于原点的对称点,故坐标为),,(cba【新题导练】1．已知正四棱柱1111ABCDABCD的顶点坐标分别为(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0)ABD，1(0,0,5)A，则1C的坐标为。[解析]正四棱柱1111ABCDABCD过点A的三条棱恰好是坐标轴，1C的坐标为（2，2，5）2．平行四边形ABCD的两个顶点的的坐标为)3,2,3(),3,1,1(BA，对角线的交点为)4,0,1(M，则顶点C的坐标为,顶点D的坐标为[解析]由已知得线段AC的中点为M,线段BD的中点也是M,由中点坐标公式易得)5,1,3(C，)11,2,1(D3．已知(4,3,1)M，记M到x轴的距离为a，M到y轴的距离为b，M到z轴的距离为c，则（）A．abcB．cbaC．cabD．bca[解析]借助长方体来思考,a、b、c分别是三条面对角线的长度。5,17,10cba，选C考点2：空间两点间的距离公式题型：利用空间两点间的距离公式解决有关问题[例3]如图：已知点(1,1,0)A，对于Oz轴正半轴上任意一点P，在Oy轴上是否存在一点B，使得PAAB恒成立？若存在，求出B点的坐标；若不存在，说明理由。【解题思路】转化为距离问题，即证明222PBABPA[解析]设),0,0(cP)0,,0(bB，对于Oz轴正半轴上任意一点P，假设在Oy轴上存在一点B，使得PAAB恒成立，则222PBABPAXAYBOZP5222222222)0()0()00(])00()1()01[(])0()10()10[(cbbc即22)1(3bb，解得：2b所以存在这样的点B，当点B为(0,2,0)时，PAAB恒成立【名师指引】在空间直角坐标系中，利用距离可以证明垂直问题。此外，用距离还可以解决空间三点共线问题和求简单的点的轨迹。【新题导练】4．已知(,5,21),(1,2,2)AxxxBxx，当,AB两点间距离取得最小值时，x的值为（）A．19B．87C．87D．1914[解析]75)78(14191214)33()23()1(||22222xxxxxxAB当x87时，||AB取得最小值5．已知球面222(1)(2)(3)9xyz，与点(3,2,5)A，则球面上的点与点A距离的最大值与最小值分别是。[解析]球心6),3,2,1(ACC，球面上的点与点A距离的最大值与最小值分别是9和36．已知三点(1,1,2),(1,2,1),(,0,3)ABCa，是否存在实数a，使A、B、C共线？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。[解析]222(11)(12)(21)14AB，2222(1)(10)(23)(1)2ACaa，2222(1)(20)(13)(1)20BCaa，因为BCAB，所以，若,,ABC三点共线，有BCACAB或ACBCAB，若BCACAB，整理得：2518190aa，此方程无解；若ACBCAB，整理得：2518190aa，此方程也无解。所以不存在实数a，使A、B、C共线。6★抢分频道★基础巩固训练1．将空间直角坐标系(右手系)画在纸上时，我们通常将x轴与y轴，x轴与z轴所成的角画成（）A．090B．0135C．045D．075解析：选B2.点(3,4,5)P在yoz平面上的投影点1P的坐标是（）A．(3,0,0)B．(0,4,5)C．(3,0,5)D．(3,4,0)解析：两点的纵坐标、竖坐标不变，选B3.三棱锥ABCO中，)3,0,0(),0,1,0(),0,0,2(),0,0,0(CBAO此三棱锥的体积为（）A．1B．2C．3D．6[解析]OCOBOA,,两两垂直，13212131ABCOV4．（2007山东济宁模拟）设点B是点A(2,-3,5)关于平面xOy的对称点，则|AB|等于()A．10B．10C．38D．38[解析]A点A(2,-3,5)关于平面xOy的对称点为)5,3,2(B,10)]5(5[)]3(3[)22(222AB5．（2007年湛江模拟）点)3,2,1(P关于y轴的对称点为1P，P关于平面xOz的对称点为2P，则||21PP=[解析])3,2,1(1P，)3,2,1(2P，56||21PP6．正方体不在同一表面上的两顶点P（-1，2，-1），Q（3，-2，3），则正方体的体积是[解析]QP,不共面，PQ为正方体的一条对角线，34PQ，正方体的棱长为4，7体积为64综合提高训练7．空间直角坐标系中，到坐标平面xOy，xOz，yOz的距离分别为2，2，3的点有A.1个B.2个C.4个D.8个解析：8个。分别为（3，2，2）、（3，2，-2）、（3，-2，2）、（3，-2，-2）、（-3，2，2）、（-3，2，-2）、（-3，-2，2）、（-3，-2，-2）8．（2007山东昌乐模拟）三角形ABC的三个顶点的坐标为)4,1,6(),3,2,4(),11,2,1(CBA，则ABC的形状为（）A．正三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形[解析]C89)311()22()41(||222AB75)411()12()64(||222AC14)43()12()64(||222BC222ABBCAC9．(2008年佛冈一中模拟)已知空间直角坐标系xyzO中有一点)2,1,1(A，点B是平面xOy内的直线1yx上的动点，则BA,两点的最短距离是（）A．6B．234C．3D．217[解析]因为点B在xoy平面内的直线1xy上，故可设点B为(,1,0)xx，所以217)21(2922)20()2()1(22222xxxxxAB，所以当21时，AB取得最小值234，此时点B为)0,21,21(。10．如图，以棱长为a的正方体的三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上。（1）当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，BXACYDZOQP8探究PQ的最小值；（2）当点P在对角线AB上运动，点Q为棱CD的中点时，探究PQ的最小值；[解析]由已知(,,0),(0,,0),(0,,),(0,0,)AaaCaDaaBa，（1）当点P为对角线AB的中点时，点P坐标为(,,)222aaa，设(0,,)Qaz，则22()22aaPQz，当2az时，PQ取到最小值为22a，此时Q为CD的中点。（2）当点Q为棱CD的中点时，点Q的坐标为(0,,)2aa，设:APABk，则(1)Pxak，(1)Pyak，Pzak，所以P点的坐标为((1),(1),)aka