一次函数与平行四边形1.线段中点公式平面直角坐标系中,点A坐标为(x1,y1),点B坐标为(x2,y2),则线段AB的中点P的坐标为(2,22121yyxx)例:如图,已知点A(-2,1),B(4,3),则线段AB的中点P的坐标是________.2.线段的平移平面内,线段AB平移得到线段A'B',则①AB∥A'B',AB=A'B';②AA'∥BB',AA'=BB'.如图,线段AB平移得到线段A'B',已知点A(-2,2),B(-3,-1),B'(3,1),则点A'的坐标是________.例:如图,在平面直角坐标系中,□ABCD的顶点坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4),已知其中3个顶点的坐标,如何确定第4个顶点的坐标?例:如图,已知□ABCD中A(-2,2),B(-3,-1),C(3,1),则点D的坐标是________.方法一:利用线段平移总结:x1-x2=x4-x3,y1-y2=y4-y3或者x4-x1=x3-x2,y4-y1=y3-y2等方法二:利用中点公式总结:x1+x3=x2+x4,y1+y3=y2+y4类型一:三定一动例1、如图,平面直角坐标中,已知中A(-1,0),B(1,-2),C(3,1),点D是平面内一动点,若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形,则点D的坐标是_________________________________.总结:三定一动问题,可以通过构造中点三角形得以解决.说明:若题中四边形ABCD是平行四边形,则点D的坐标只有一个结果________【例1】.一次函数y=x+3与y=﹣x+q的图象都过点A(m,0),且与y轴分别交于点B、C.(1)试求△ABC的面积;(2)点D是平面直角坐标系内的一点,且以点A、C、B、D为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出点D的坐标;(3)过△ABC的顶点能否画一条直线,使它能平分△ABC的面积?若能,求出直线的函数关系式,若不能,说明理由.【解答】解:(1)将点A(m,0)代入y=x+3中,得m+3=0,解得m=﹣3,即点A(﹣3,0),将点A(﹣3,0)代入y=﹣x+q中,得q=﹣3,∴点B(0,3)、C(0,﹣3),故S=12×BC×AO=9;(2)满足条件的D点坐标为D(﹣3,6)、D(﹣3,﹣6)、D(3,0);(3)若过点A,则得直线l:y=0;若过点C,则得直线l:y=﹣3x﹣3;若过点B,则得直线l:y=3x+3.例2.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线PA是一次函数y=x+m(m>0)的图象,直线PB是一次函数y=﹣3x+n(n>m)的图象,点P是两直线的交点,点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点.(1)用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数;(2)若四边形PQOB的面积是112,且CQ:AO=1:2,试求点P的坐标,并求出直线PA与PB的函数表达式;(3)在(2)的条件下,是否存在一点D,使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)在直线y=x+m中,令y=0,得x=﹣m.∴点A(﹣m,0).在直线y=﹣3x+n中,令y=0,得𝑥=𝑛3.∴点B(𝑛3,0).由{𝑦=𝑥+𝑚𝑦=−3𝑥+𝑛,得{𝑥=𝑛−𝑚4𝑦=𝑛+3𝑚4,∴点P(𝑛−𝑚4,𝑛+3𝑚4).在直线y=x+m中,令x=0,得y=m,∴|﹣m|=|m|,即有AO=QO.又∵∠AOQ=90°,∴△AOQ是等腰直角三角形,∴∠PAB=45°.(2)∵CQ:AO=1:2,∴(n﹣m):m=1:2,整理得3m=2n,∴n=32m,∴𝑛+3𝑚4=32𝑚+3𝑚4=98m,而S四边形PQOB=S△PAB﹣S△AOQ=12(𝑛3+m)×(98m)−12×m×m=1132m2=112,解得m=±4,∵m>0,∴m=4,∴n=32m=6,∴P(12,92).∴PA的函数表达式为y=x+4,PB的函数表达式为y=﹣3x+6.(3)存在.过点P作直线PM平行于x轴,过点B作AP的平行线交PM于点D1,过点A作BP的平行线交PM于点D2,过点A、B分别作BP、AP的平行线交于点D3.①∵PD1∥AB且BD1∥AP,∴PABD1是平行四边形.此时PD1=AB,易得𝐷1(132,92);②∵PD2∥AB且AD2∥BP,∴PBAD2是平行四边形.此时PD2=AB,易得𝐷2(−112,92);③∵BD3∥AP且AD3∥BP,此时BPAD3是平行四边形.∵BD3∥AP且B(2,0),∴yBD3=x﹣2.同理可得yAD3=﹣3x﹣12{𝑦=𝑥−2𝑦=−3𝑥−12,得{𝑥=−52𝑦=−92,∴𝐷3(−52,−92).3.如图,在等边△ABC中,BC=8cm,射线AG∥BC,点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动,同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动,设运动时间为t(s).(1)连接EF,当EF经过AC边的中点D时,求证:△ADE≌△CDF;(2)填空:①当t为s时,以A、F、C、E为顶点的四边形是平行四边形;②当t为s时,四边形ACFE是菱形.【解答】(1)证明:∵AG∥BC,∴∠EAD=∠DCF,∠AED=∠DFC,∵D为AC的中点,∴AD=CD,∵在△ADE和△CDF中,{∠𝐸𝐴𝐷=∠𝐷𝐶𝐹∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐷𝐹𝐶𝐴𝐷=𝐶𝐷,∴△ADE≌△CDF(AAS);(2)解:①当点F在C的左侧时,根据题意得:AE=tcm,BF=2tcm,则CF=BC﹣BF=6﹣2t(cm),∵AG∥BC,∴当AE=CF时,四边形AECF是平行四边形,即t=8﹣2t,解得:t=83;当点F在C的右侧时,根据题意得:AE=tcm,BF=2tcm,则CF=BF﹣BC=2t﹣8(cm),∵AG∥BC,∴当AE=CF时,四边形AEFC是平行四边形,即t=2t﹣8,解得:t=8;综上可得:当t=83或8s时,以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形.②若四边形ACFE是菱形,则有CF=AC=AE=8,则此时的时间t=8÷1=8(s);故答案是:83或8;8.4.已知,Rt△OAB的两直角边OA、OB分别在x轴和y轴上,如图1,A,B坐标分别为(﹣2,0),(0,4),将△OAB绕O点顺时针旋转90°得△OCD,连接AC、BD交于点E.(1)求证:△ABE≌△DCE.(2)M为直线BD上动点,N为x轴上的点,若以A,C,M,N四点为顶点的四边形是平行四边形,求出所有符合条件的M点的坐标.(3)如图2,过E点作y轴的平行线交x轴于点F,在直线EF上找一点P,使△PAC的周长最小,求P点坐标和周长的最小值.【分析】(1)由A、B的坐标可求得AO和OB的长,由旋转的性质可求得OC、OD的长,从而可求得∠AEB=90°,再由勾股定理可求得CD和AB的长,可求得AB=CD,可证得△ABE≌△DCE;(2)由B、D坐标可求得直线BD解析式,当M点在x轴上方时,则有CM∥AN,则可求得M点纵坐标,代入直线BD解析式可求得M点坐标,当M点在x轴下方时,同理可求得M点纵坐标,则可求得M点坐标;(3)由AE=DE可知A、D关于EF对称,连接CD交EF于点P,则P点即为满足条件的点,由C、D坐标可求得直线CD的解析式,则可求得P点坐标,利用勾股定理可分别求得AC和CD的长,则可求得此时△PAC的周长.【解答】解:(1)∵A(﹣2,0),B(0,4),∴OA=2,OB=4,∵将△OAB绕O点顺时针旋转90°得△OCD,∴OC=OA=2,OD=OB=4,AB=CD,∴∠ACO=∠ECB=∠CBE=45°,∴∠CEB=90°,∴∠AEB=∠CED,且CE=BE,在Rt△ABE和Rt△DCE中{𝐴𝐵=𝐶𝐷𝐵𝐸=𝐶𝐸∴Rt△ABE≌Rt△DCE(HL);(2)由(1)可知D(4,0),且B(0,4),∴直线BD解析式为y=﹣x+4,当M点在x轴上方时,则有CM∥AN,即CM∥x轴,∴M点到x轴的距离等于C点到x轴的距离,∴M点的纵坐标为2,在y=﹣x+4中,令y=2可得x=2,∴M(2,2);当M点在x轴下方时,同理可得M点的纵坐标为﹣2,在y=﹣x+4中,令y=﹣2可求得x=6,∴M点的坐标为(6,﹣2);综上可知M点的坐标为(2,2)或(6,﹣2);(3)由(1)可知AE=DE,∴A、D关于直线EF对称,连接CD交EF于点P,则PA=PD,∴PA+PC=PD+PC=CD,∴满足△PAC的周长最小,∵C(0,2),D(4,0),∴可设直线CD解析式为y=kx+2,∴4k+2=0,解得k=−12,∴直线CD解析式为y=−12x+2,∵A(﹣2,0),D(4,0),∴F(1,0),即直线EF解析式为x=1,在y=−12x+2中,令x=1可得y=32,∴P(1,32),在Rt△AOC中,由勾股定理可求得AC=2√2,在Rt△COD中,由勾股定理可求得CD=√22+42=2√5,∴PA+PC+AC=CD+AC=2√5+2√2,即△PAC的周长最小值为2√5+2√2.