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一次函数与平行四边形1.线段中点公式平面直角坐标系中，点A坐标为(x1，y1)，点B坐标为(x2，y2)，则线段AB的中点P的坐标为（2,22121yyxx）例：如图，已知点A(-2，1)，B(4，3)，则线段AB的中点P的坐标是________.2.线段的平移平面内，线段AB平移得到线段A'B'，则①AB∥A'B'，AB=A'B'；②AA'∥BB'，AA'=BB'.如图，线段AB平移得到线段A'B'，已知点A(-2，2)，B(-3，-1)，B'(3，1)，则点A'的坐标是________.例：如图，在平面直角坐标系中，□ABCD的顶点坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4)，已知其中3个顶点的坐标，如何确定第4个顶点的坐标？例：如图，已知□ABCD中A(-2，2)，B(-3，-1)，C(3，1)，则点D的坐标是________.方法一：利用线段平移总结：x1-x2=x4-x3，y1-y2=y4-y3或者x4-x1=x3-x2，y4-y1=y3-y2等方法二：利用中点公式总结：x1+x3=x2+x4，y1+y3=y2+y4类型一：三定一动例1、如图，平面直角坐标中，已知中A(-1，0)，B(1，-2)，C(3，1)，点D是平面内一动点，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是_________________________________.总结：三定一动问题，可以通过构造中点三角形得以解决.说明：若题中四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标只有一个结果________【例1】．一次函数y＝x+3与y＝﹣x+q的图象都过点A（m，0），且与y轴分别交于点B、C．（1）试求△ABC的面积；（2）点D是平面直角坐标系内的一点，且以点A、C、B、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标；（3）过△ABC的顶点能否画一条直线，使它能平分△ABC的面积？若能，求出直线的函数关系式，若不能，说明理由．【解答】解：（1）将点A（m，0）代入y＝x+3中，得m+3＝0，解得m＝﹣3，即点A（﹣3，0），将点A（﹣3，0）代入y＝﹣x+q中，得q＝﹣3，∴点B（0，3）、C（0，﹣3），故S=12×BC×AO＝9；（2）满足条件的D点坐标为D（﹣3，6）、D（﹣3，﹣6）、D（3，0）；（3）若过点A，则得直线l：y＝0；若过点C，则得直线l：y＝﹣3x﹣3；若过点B，则得直线l：y＝3x+3．例2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数y＝x+m（m＞0）的图象，直线PB是一次函数y＝﹣3x+n（n＞m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点．（1）用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数；（2）若四边形PQOB的面积是112，且CQ：AO＝1：2，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式；（3）在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在直线y＝x+m中，令y＝0，得x＝﹣m．∴点A（﹣m，0）．在直线y＝﹣3x+n中，令y＝0，得𝑥=𝑛3．∴点B（𝑛3，0）．由{𝑦=𝑥+𝑚𝑦=−3𝑥+𝑛，得{𝑥=𝑛−𝑚4𝑦=𝑛+3𝑚4，∴点P（𝑛−𝑚4，𝑛+3𝑚4）．在直线y＝x+m中，令x＝0，得y＝m，∴|﹣m|＝|m|，即有AO＝QO．又∵∠AOQ＝90°，∴△AOQ是等腰直角三角形，∴∠PAB＝45°．（2）∵CQ：AO＝1：2，∴（n﹣m）：m＝1：2，整理得3m＝2n，∴n=32m，∴𝑛+3𝑚4=32𝑚+3𝑚4=98m，而S四边形PQOB＝S△PAB﹣S△AOQ=12（𝑛3+m）×（98m）−12×m×m=1132m2=112，解得m＝±4，∵m＞0，∴m＝4，∴n=32m＝6，∴P（12，92）．∴PA的函数表达式为y＝x+4，PB的函数表达式为y＝﹣3x+6．（3）存在．过点P作直线PM平行于x轴，过点B作AP的平行线交PM于点D1，过点A作BP的平行线交PM于点D2，过点A、B分别作BP、AP的平行线交于点D3．①∵PD1∥AB且BD1∥AP，∴PABD1是平行四边形．此时PD1＝AB，易得𝐷1(132，92)；②∵PD2∥AB且AD2∥BP，∴PBAD2是平行四边形．此时PD2＝AB，易得𝐷2(−112，92)；③∵BD3∥AP且AD3∥BP，此时BPAD3是平行四边形．∵BD3∥AP且B（2，0），∴yBD3＝x﹣2．同理可得yAD3＝﹣3x﹣12{𝑦=𝑥−2𝑦=−3𝑥−12，得{𝑥=−52𝑦=−92，∴𝐷3(−52，−92)．3．如图，在等边△ABC中，BC＝8cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）填空：①当t为s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是平行四边形；②当t为s时，四边形ACFE是菱形．【解答】（1）证明：∵AG∥BC，∴∠EAD＝∠DCF，∠AED＝∠DFC，∵D为AC的中点，∴AD＝CD，∵在△ADE和△CDF中，{∠𝐸𝐴𝐷=∠𝐷𝐶𝐹∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐷𝐹𝐶𝐴𝐷=𝐶𝐷，∴△ADE≌△CDF（AAS）；（2）解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm），∵AG∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，即t＝8﹣2t，解得：t=83；当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BF﹣BC＝2t﹣8（cm），∵AG∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，即t＝2t﹣8，解得：t＝8；综上可得：当t=83或8s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．②若四边形ACFE是菱形，则有CF＝AC＝AE＝8，则此时的时间t＝8÷1＝8（s）；故答案是：83或8；8．4．已知，Rt△OAB的两直角边OA、OB分别在x轴和y轴上，如图1，A，B坐标分别为（﹣2，0），（0，4），将△OAB绕O点顺时针旋转90°得△OCD，连接AC、BD交于点E．（1）求证：△ABE≌△DCE．（2）M为直线BD上动点，N为x轴上的点，若以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，求出所有符合条件的M点的坐标．（3）如图2，过E点作y轴的平行线交x轴于点F，在直线EF上找一点P，使△PAC的周长最小，求P点坐标和周长的最小值．【分析】（1）由A、B的坐标可求得AO和OB的长，由旋转的性质可求得OC、OD的长，从而可求得∠AEB＝90°，再由勾股定理可求得CD和AB的长，可求得AB＝CD，可证得△ABE≌△DCE；（2）由B、D坐标可求得直线BD解析式，当M点在x轴上方时，则有CM∥AN，则可求得M点纵坐标，代入直线BD解析式可求得M点坐标，当M点在x轴下方时，同理可求得M点纵坐标，则可求得M点坐标；（3）由AE＝DE可知A、D关于EF对称，连接CD交EF于点P，则P点即为满足条件的点，由C、D坐标可求得直线CD的解析式，则可求得P点坐标，利用勾股定理可分别求得AC和CD的长，则可求得此时△PAC的周长．【解答】解：（1）∵A（﹣2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，∵将△OAB绕O点顺时针旋转90°得△OCD，∴OC＝OA＝2，OD＝OB＝4，AB＝CD，∴∠ACO＝∠ECB＝∠CBE＝45°，∴∠CEB＝90°，∴∠AEB＝∠CED，且CE＝BE，在Rt△ABE和Rt△DCE中{𝐴𝐵=𝐶𝐷𝐵𝐸=𝐶𝐸∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL）；（2）由（1）可知D（4，0），且B（0，4），∴直线BD解析式为y＝﹣x+4，当M点在x轴上方时，则有CM∥AN，即CM∥x轴，∴M点到x轴的距离等于C点到x轴的距离，∴M点的纵坐标为2，在y＝﹣x+4中，令y＝2可得x＝2，∴M（2，2）；当M点在x轴下方时，同理可得M点的纵坐标为﹣2，在y＝﹣x+4中，令y＝﹣2可求得x＝6，∴M点的坐标为（6，﹣2）；综上可知M点的坐标为（2，2）或（6，﹣2）；（3）由（1）可知AE＝DE，∴A、D关于直线EF对称，连接CD交EF于点P，则PA＝PD，∴PA+PC＝PD+PC＝CD，∴满足△PAC的周长最小，∵C（0，2），D（4，0），∴可设直线CD解析式为y＝kx+2，∴4k+2＝0，解得k=−12，∴直线CD解析式为y=−12x+2，∵A（﹣2，0），D（4，0），∴F（1，0），即直线EF解析式为x＝1，在y=−12x+2中，令x＝1可得y=32，∴P（1，32），在Rt△AOC中，由勾股定理可求得AC＝2√2，在Rt△COD中，由勾股定理可求得CD=√22+42=2√5，∴PA+PC+AC＝CD+AC＝2√5+2√2，即△PAC的周长最小值为2√5+2√2．