一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系教材分析：一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以二次根式的求根公式为基础的。教材通过一元二次方程的根x1、x2得出一元二次方程根与系数的关系，以及以数x1、x2为根的一元二次方程的求方程模型。学情分析：学生已学习用求根公式法解一元二次方程。本课的教学对象是八级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征。在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。教学知识目标:要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。能力目标:通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。情感目标:通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。教学重点:一元二次方程根与系数的关系。教学难点:让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。教学过程：一.探究猜想1.求解下列方程，并计算两根之和，两根之积：方程x1x2x1+x2x1x2x2-5x+6=02x2+5x+3=03x2-2x-8=02.设疑：你发现表格中两个解的和与积和原方程的系数有什么联系？3.猜想：根据你的观察，猜想：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根x1，x2与a、b、c之间的关系：x1+x2=__________x1x2=。二.猜想论证分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=，x2=则x1+x2=+=；x1x2=·=学生在老师的引导下完成证明。结论：（1）如果的两个根为x1，x2，那么x1+x2=-b/ax1x2=c/a这个关系通常韦达定理。（2）当一元二次方程的二次项系数为1时，它的标准形式为x2+px+q=0,设它的两个根为x1x2，这时韦达定理应是x1+x2=-p,x1x2=-q.练习：课本教材第39页练习题第1题，第2题。三.讲练结合例1.已知方程2x2+kx-4=0的一个根是-4，求它的另一个根及k的值。（学生在教师的引导下完成，教师板书示范）提问：本题还有其他的解法吗？学生思考交流。例2.已知关于x的方程x2－2mx+m2=0.其中x1、x2分别是一个等腰三角形的腰和底边的长.（1）求证这个方程有两个不相等实数根.（2）若方程的两个实数根差的绝对值是8，并且等腰三角形的面积是12，求这个等腰三角形的边长。说明：本例体现了韦达定理与完全平方公式之间的内在联系。四.深入挖掘已知方程x2＋3x－1＝0的两实数根为α，β，不解方程求下列各式的值．(1)α2＋β2；(2)α3β＋αβ3；(3)＋.五.小结提升提问：韦达定理的内容是什么？你觉得韦达定理的意义是什么？六.作业布置教材第40页习题第1-5题。韦达定理16世纪法国最杰出的数学家韦达发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此,人们把这个关系称为韦达定理。数学原本只是韦达的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取得了伟大的成就。韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进。是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。因此，他获得了“代数学之父”之称。韦达定理在求根的对称函数，讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。一元二次方程的根的判别式为ac4-b2△。（a，b，c分别为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项）。韦达定理与根的判别式的关系更是密不可分。根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。韦达定理最重要的贡献是对代数学的推进，它最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，用字母代替未知数，指出了根与系数之间的关系。韦达定理为数学中的一元方程的研究奠定了基础，对一元方程的应用创造和开拓了广泛的发展空间。利用韦达定理可以快速求出两方程跟的关系，韦达定理应用广泛，在初等数学、解析几何、平面几何、方程论中均有体现。教学反思1、一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。2.以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力