高中数学直线方程与圆的方程

考点一直线的倾斜角、斜率与方程1.直线的倾斜角(1)当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴①正向与直线l②向上的方向所成的角即为直线l的倾斜角;(2)当直线l与x轴平行或重合时,规定直线的倾斜角为③0°;(3)直线倾斜角θ的范围为④[0,π).2.直线的斜率(1)若直线的倾斜角θ不是90°,则斜率k=⑤tanθ;(2)若由A(x1,y1),B(x2,y2)确定的直线不垂直于x轴,则斜率k=⑥ ;(3)直线都有倾斜角,但不一定都有斜率.2121yyxx§9.1直线方程与圆的方程知识清单3.直线方程的几种形式考点二圆的方程1.圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆.定点就是圆心,定长就是半径.2.圆的标准方程圆心为(a,b),半径为r的圆的方程为⑦(x-a)2+(y-b)2=r2.3.圆的一般方程已知二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.(*)(1)当⑧D2+E2-4F0时,(*)表示圆的方程,圆心为 ,半径为  .此时,(*)叫圆的一般方程.(2)当⑨D2+E2-4F=0时,(*)表示点.,22DE12224DEF(3)当⑩D2+E2-4F0时,(*)不表示任何图形.(4)圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径,而一般方程突出了方程形式的特点:(i)x2和y2的系数相等且不为0;(ii)没有xy这样的二次项.(5)A=C≠0且B=0是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的 必要不充分条件.4.过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆的方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1),不表示圆C2.5.已知点A(x1,y1),B(x2,y2),以AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.求解直线的斜率及倾斜角范围的方法1.求斜率的常用方法(1)已知直线上两点时,由斜率公式k= (x1≠x2)来求斜率.(2)已知倾斜角α或α的三角函数值时,由k=tanα 来求斜率.此类问题经常与三角函数知识结合在一起,要注意三角函数公式的灵活运用.(3)直线Ax+By+C=0(B≠0)的斜率为k=- .2.求倾斜角α的取值范围的一般步骤 2121yyxx2αAB方法技巧方法1例1(2018广东五校9月调研,7)已知点A(2,0),点B(-2,0),直线l:(λ+3)x+(λ-1)y-4λ=0(λ∈R),若直线l与线段AB有公共点,则λ的取值范围是 (B)A.[-1,1)∪(1,3]B.[-1,3]C.(-1,1)∪(1,3)D.[-1,3)解题导引求出直线l所过定点P的坐标 求PA、PB的斜率 分析l的位置变化与斜率的变化情况 结论解析(λ+3)x+(λ-1)y-4λ=0即λ(x+y-4)+(3x-y)=0.∵λ∈R,∴ 解得 ∴直线l过定点P(1,3).又∵点A(2,0),点B(-2,0),∴kPA= =-3,kPB= =1.当λ=1时,直线l:x=1,与线段AB有公共点.当λ≠1时,直线l的斜率k= ,∵直线l与线段AB有公共点.∴ ≥1或 ≤-3.∴-1≤λ1或1λ≤3.40,30,xyxy1,3.xy3012301(2)31λλ31λλ31λλ综上所述,λ的取值范围为[-1,3],故选B.例2(2016豫西五校2月联考,13)曲线y=x3-x+5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为.解析设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0,π)),因为y'=3x2-1≥-1,所以tanθ≥-1,结合正切函数的图象可知,θ的取值范围为 ∪ .0,23,4答案 ∪ 0,23,4求直线方程的方法点的坐标确定直线的位置,斜率确定直线的方向,也就是说,要确定直线的方程,只需找到两个点的坐标,或一个点的坐标与过该点的直线的斜率即可.因此确定直线方程的常用方法有两种:(1)直接法:根据已知条件,确定适当的直线方程形式,直接写出直线方程;(2)待定系数法:先设出直线方程,再根据已知条件求出待定的系数,最后代入求出直线的方程.例3(2017湖南东部十校联考,14)经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,并且垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程为.方法2解析解法一:由方程组 解得 故交点坐标为 ,∵所求直线与直线3x+4y-7=0垂直,∴所求直线的斜率k= .由点斜式得所求直线方程为y- =  ,即4x-3y+9=0.解法二:由垂直关系可设所求直线方程为4x-3y+m=0,由方程组 可解得交点坐标为 ,2310,340xyxy5,37,9xy57,3943794353x2310,340xyxy57,39代入4x-3y+m=0得m=9,故所求直线方程为4x-3y+9=0.解法三:由题意可设所求直线的方程为(2x+3y+1)+λ(x-3y+4)=0,即(2+λ)x+(3-3λ)y+1+4λ=0,①因为所求直线与直线3x+4y-7=0垂直,所以3(2+λ)+4(3-3λ)=0,所以λ=2,代入①式得所求直线方程为4x-3y+9=0.答案4x-3y+9=0求圆的方程的方法1.方程选择的原则:求圆的方程时,如果由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要用圆心坐标、半径列方程,常选用标准方程;如果已知条件和圆心坐标、半径无直接关系,而与经过的点有直接关系,常选用一般方程.2.求圆的方程的方法和步骤:确定圆的方程的主要方法是待定系数法,大致步骤如下:①根据题意,选择方程形式(标准方程或一般方程);②根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;③解出a,b,r或D,E,F,代入所选的方程中即可.3.利用几何法求圆的方程时常用的几何性质有:①圆心在过切点且与切线垂直的直线上;②圆心在任一弦的垂直平分线上;③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心在一条直线上.方法3例4(2017广东七校联考,14)一个圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且在直线y=x上截得的弦长为2 ,则该圆的方程为.7解析解法一:∵所求圆的圆心在直线x-3y=0上,∴设所求圆的圆心为(3a,a),∵所求圆与y轴相切,∴半径r=3|a|,又所求圆在直线y=x上截得的弦长为2 ,圆心(3a,a)到直线y=x的距离d= ,∴d2+( )2=r2,即2a2+7=9a2,∴a=±1.故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.解法二:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到直线y=x的距离为 ,∴r2= +7,即2r2=(a-b)2+14.①7|2|2a7||2ab2()2ab∵所求圆与y轴相切,∴r2=a2.②又∵所求圆的圆心在直线x-3y=0上,∴a-3b=0,③联立①②③,解得 或 故所求圆的方程为(x+3)2+(y+1)2=9或(x-3)2+(y-1)2=9.解法三:设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心坐标为 ,半径r=  .在圆的方程中,令x=0,得y2+Ey+F=0.∵所求圆与y轴相切,∴Δ=0,则E2=4F.①圆心 到直线y=x的距离为d= ,23,1,9abr23,1,9.abr,22DE12224DEF,22DE222DE由已知得d2+( )2=r2,即(D-E)2+56=2(D2+E2-4F).②又圆心 在直线x-3y=0上,∴D-3E=0.③联立①②③,解得 或 故所求圆的方程为x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0.7,22DE6,2,1DEF6,2,1.DEF答案x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0对称问题的处理方法对称包括中心对称和轴对称两种情况.点关于点的对称是中心对称中最基本的一类问题,处理这类问题要抓住已知点与对称点所连线段的中点为对称中心;点关于直线对称是轴对称中最基本的一类问题,处理这类问题要抓住两点:一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直,二是以已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上.例5(2016山西太原五中月考,13)与直线3x-y-4=0关于点P(2,-1)对称的直线l的方程为.方法4解题导引解法一:在直线l上任取一点(x,y) 求与其关于P(2,-1)对称的点的坐标 由该点在直线3x-y-4=0上可得结论解法二:利用平行直线系设出直线l的方程 点P到两直线距离相等 列方程求参数 结论解析解法一:设直线l上任一点为(x,y),它关于点P(2,-1)的对称点(4-x,-2-y)在直线3x-y-4=0上,∴3(4-x)-(-2-y)-4=0,即3x-y-10=0,∴所求直线l的方程为3x-y-10=0.解法二:由于直线l与直线3x-y-4=0平行,故设直线l的方程为3x-y+b=0(b≠-4),则由点P到两直线的距离相等,得 = ,解得b=-10或b=-4(舍去),∴所求直线l的方程为3x-y-10=0.22|614|3122|61|31b答案3x-y-10=0