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1《平面几何中的向量方法》教学设计广州市花都区圆玄中学陈苑莉【教学目标】1、知识与技能通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”。2、过程与方法：学生通过自主探究，明白平面几何图形中的有关性质,如平行、垂直、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示。3、情感态度与价值观：通过本节学习,让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性,活跃学生的思维,发展学生的创新意识,激发学生的学习积极性,并体会向量在几何和现实生活中的意义.【教学重点】用向量方法解决实际问题的基本方法;向量法解决几何问题的“三步曲”【教学难点】如何将几何等实际问题化归为向量问题.【教学设计说明】1、教材分析：（1）本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越性.对于向量方法,就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简单地表述为:则向量方法的流程图可以简单地表述为:这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”,也是本节的重点.（2）研究几何可以采取不同的方法,有些平面几何问题,利用向量方法求解比较容易.使用向量方法要点在于用向量表示线段或点,根据点与线之间的关系,建立向量等式,再根据向量的线性相关与无关的性质,得出向量的系数应满足的方程组,求出方程组的解,从而解决问题.使用向量方法时,要注意向量起点的选取,选取得当可使计算过程大大简化.2、学情分析在此之前，学生已经掌握向量的线性运算、基本定理、坐标表示、数量积等内容，但是在动手操作与实际运用等方面，发展不均衡，有待加强。3、教学策略与手段1）突出重点：通过将例1条件具体化、问题细化的一个探究题目；让学生发现向量与几何有密切联系，向量方法可以解决几何问题。2）分化难点：通过探究和例题的细化训练，循序渐进将难点分化，．2【教学过程】教学环节教学内容学生活动教师活动设计意图新知探究【A组题】已知A(0,0),B(4,1),C(1,4),D(5,5)（如图），解答以下问题：5421541DCBAyx01、（1）判断直线AB与直线CD的位置关系；（2）判断直线AC与直线BD的位置关系。（3)分别求出线段AB、CD的长度;2、（1）判断向量AB与CD的位置关系；（2）求向量AC与BD的夹角；（3）求向量AB、CD、BC、AD、AC、BD的模；通过以上问题你有什么发现？【B组题】1、已知A(0,0),B(4,1),C(1,4),D(5,5)，1）证明以这四个点为顶点的四边形是一个平行四边形；2）分别求出各边长和对角线的长度。以上两个几何问题你是用什么知识解答出来的，你能结合上面两个题目的解题过程分析出解题步骤吗？各学生根据学案上的问题探究讨论，并把各组的研究成果写在学案上.先根据各小组的数学基础把各小组分成两类，给各个小组布置任务，让基础较薄弱的小组完成A组题，让基础较好的小组完成B组题。创设探究目的是突破本课题的重点，让学生发现向量与几何有密切联系，向量方法可以解决几何问题。和用向量方法解决几何问题的“三步曲”A组题：让学生体会到向量与平面几何有联系。问题2（3）为后面的例1做好铺垫。B组题：问题1让学生在解题过程中经过探讨，提炼出向量方法解决几何问题的“三步曲：形转化为向量——向量的运算——向量和数还原为形.该题比较简单，学生很容易解答出结果，相对课本例1，更容易在此基础上提炼“三步曲”第2小题为后面的例1做好铺垫。时间：预备3分钟+正课5分钟3引出新课用向量方法解决几何问题的“三步曲”：形转化为向量向量的运算向量和数还原为形各小组派代表讲解他们研究成果，各抒己见，相互补充点评总结：可以用向量方法解决几何问题，并用课件展示向量方法解决几何问题的“三步曲”具体步骤学生通过简单的知识探究，由固有知识发现新规律，符合学生的认知规律，大大提高教学效率。时间：5分钟典例分析1例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？思考1：1.长方形对角线的长度与两条邻边长度有何关系？结合上题的计算结果，平行四边形有相似关系吗？2．平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，你能结合向量方法”三步曲”证明你的结论吗？思考2：除了向量方法，你能用其他方法给出证明吗？学生通过学案上的问题引导，自己探索出解题思路，给出解答过程。问题1引导学生用向量数量积求与长度有关的几何问题，提出思考题，让学生经过思考展示向量以外其他解法.典例选题立意：在学生得到新知识的基础上，通过两个示范性强的例题，让学生进行实践，应用向量方法解决几何问题的“三步曲”，在解题过程中突破本节的难点：把几何问题化归为向量问题.例1：问题1让学生类比长方形的性质，猜想出平行四边形的相似性质.问题2引导学生用向量方法的“三步曲”给出证明.通过思考2，发散学生思维的同时，让学生体会向量法解决几何问题的优越性。时间：10分钟典例分析2例2：如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？思考1：AR、RT、TC与AC是什么关系？AD与、ATAR、AC之间有什么关系？怎样表示这种关系？能利用这个关系解题吗？思考2：若把“E为中点”改为“E为AD的靠近A的三等分点”呢？观察几何画板的动态演示，猜想出结论.先用几何画板动态演示并展示测量的数据，让学生观察猜想出结论.师生共同分析，指导学生如何将几何问题化归为向量问题，突破本题难点.通过学案上的思考题，引导学生用待定系数法表示两平行向量，进而解答出此题。通过思考2“举一反三”，让学生熟练应用此题中的数学思想和方法.例2：通过此题进一步熟悉向量法的“三步曲”的应用。通过此题启发学生灵活运用向量工具解几何问题。此题应用到了平行向量基本定理，用向量的数乘表示其平行向量的重要数学思想，和待定系数法这个重要的数学方法.分析：要判断AR,RT,TC,之间的关系，只需判断AR,RT,TC与AC的关系.所以找向量关系即可.时间：10分钟ABCDABCDEFRT4课堂小结用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素.回顾本节课内容，总结出本节课重点。1、提醒学生领悟“三步曲”的本质.掌握将平面几何问题转化为向量问题的化归思想.2、鼓励学生课后继续探讨并力求攻克这一难点.使学生把解题过程中的思想方法总结出来，达到思维能力的提升，从而更广泛的应用于以后的学习中.时间：2分钟巩固训练A组：1、在平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC的长B组：1、已知AC为⊙O的一条直径，∠ABC是圆周角，求证：∠ABC=90°2如图5,AD、BE、CF是△ABC的三条高.求证:AD、BE、CF相交于一点.两组的第1题：学生相互讨论，分析思路.自己写出证明过程.第2题：学生独立完成.引导学生学会灵活的利用圆的特性、线段垂直的关系等知识巧妙地将几何问题化归为向量问题分组练习：对不同基础的学生进行分层训练，尽量让每位学生动起来，同时对基础较好的学生进行强化训练。设计意图：继续突破难点，学会把各种类型的几何问题灵活的化归为向量问题，从而综合的解决各种平面几何问题.时间：8分钟（若课堂时间较紧张，可稍作点评后做课后训练）布置作业1、完成学案2、课本P119第6题巩固课内知识板书设计知识点多媒体演示例题