积分变换2

《复变函数与积分变换》教案《积分变换》第二章1章节名称：第二章Laplace变换学时安排：8学时教学要求：使学生了解Laplace变换及其相关概念，会求函数的Laplace变换、逆变换及其推导一些积分结果。教学内容：Laplace积分；Laplace变换；Laplace变换的性质；Laplace变换的应用教学重点：Laplace变换换及其性质教学难点：Laplace变换的计算与应用教学手段：课堂讲授教学过程：第二章Laplace变换§1、Laplace变换的概念1、Laplace积分的概念：（1），称复含参量s的广义积分0)(dtetfst为Laplace积分；收敛的Laplace积分在右半平面上同时定义了一个函数)(sF，这个函数我们称其为复频函数，s称为复频率。例，求指数函数tetf)(的Laplace积分（其中为任一复数）（2），Laplace积分存在定理定理2.1，若函数)(tf在区间),0[上满足下列条件：（1）)(tf在任意有限区间上分段连续；（2）存在着常数0,00cM，使得tcMetf0)(，则在半平面0)Re(cs上，积分0)(dtetfst存在，由此积分所确定的函数)(sF解析。2、Laplace变换（1）Laplace变换的概念定义：设)(tf为定义在),0[上的实值（或复值）函数，其Laplace积分收敛，由积分0)()(dtetfsFst建立的从)(tf到)(sF的对应叫做)(tf的Fourier变换式。（2）Laplace变换应用举例：例1，求函数chkttf)(的Laplace变换（其中k为任意复数）。例2，求函数tttf3sin2sin)(的Laplace变换。《复变函数与积分变换》教案《积分变换》第二章2§2、Laplace变换的性质在这一节，将介绍Laplace变换的几个重要性质，为了叙述方便，假定在这些性质中，凡是需要求Laplace变换的函数都满足Laplace积分定理的条件。1，线性性质设)(1sF=)(1tf，)(2sF=)(2tf，,是常数，则)()()()(2121sFsFtftf这个性质的作用是显然的，它表明了函数线性组合的Laplace变换等于各函数Laplace变换的线性组合。同样Laplace逆变换具有类似的线性性质。2，微分性质如果)()(sFtf则)0()()('fssFtf它表明一个函数的导数的Laplace变换等于这个函数的Laplace变换乘以参变数s，再减去函数的初值。推论：若)()(sFtf，则)0()0()()('2''fsfsFstf一般地，)0()0()0()()()1('21)(nnnnnffsfssFstf例：求函数mttf)(的Laplace变换（其中m为正整数）3，积分性质如果)()(sFtf，则)(1)(0sFsdttft例：求函数tttfsinh)(的Laplace变换它表明一个函数积分后的Laplace变换等于这个函数的Laplace变换除以复参数s。4，位移性质如果)()(sFtf，则)()(asFtfeat，cas)Re(5，延迟性质如果)()(sFtf，则)()(sFetfs《复变函数与积分变换》教案《积分变换》第二章3§3、Laplace逆变换1，Laplace反演积分0,)(21)(tdsesFjtfstjj2，定理：若,,,21nsss是函数)(sF的所有奇点（适当选取使这些奇点全在)Re(s的范围）内），且当s时，0)(sF，则有])([Re)(21)(1stnkssstjjesFsdsesFjtfk。例，利用留数方法求2)1(1)(sssF的逆变换。§4、Laplace变换的应用：微分、积分方程的Laplace变换解法例1，求方程teyyy32'''满足初始条件1)0(,0)0('yy的解。例2，求方程02'''yyy满足初始条件4)(,0)0(lyy的解。例3，求方程02)21('''yytty满足初始条件2)0(,1)0('yy的解。教学小结：1）掌握Laplace积分、Laplace变换等概念以及运用它们计算函数的Laplace积分、Laplace变换，并能熟练推证一些积分等式。2）运用Laplace变换的线性性质、微分性质、积分性质，可以将线性常系数微分方程（包括积分方程和微积分方程）转化为代数方程，通过解代数方程与求Laplace逆变换，就可以得到相应的原方程的解。另外，Laplace变换还是求解偏微分方程的方法之一，其计算过程与上述步骤大体相似。作业布置：P.79，2（1）；P92，1（1，3，5）；P135，1（1，2）；2（1）