求数列的通项公式方法总结

2.6数列求通项公式的典型方法数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和nS可视为数列{}nS的通项求数列通项公式方法较多，归纳起来常用的方法主要有一下几种：归纳法、公式法、累加法、累乘法、构造法、取倒数法、取对数法、不动点法等等1．归纳法【例1】已知数列,3219,1617,815,413试写出其一个通项公式：____________________练习1．已知数列222221324354,,,,1357，试写出下列数列的一个通项公式：____________________练习2．数列1，－58，715，－924，…的一个通项公式是()A．an＝(－1)n＋1·2n－1n2＋nB．an＝(－1)n－1·2n＋1n2＋3nC．an＝(－1)n＋1·2n－1n2＋2nD．an＝(－1)n－1·2n＋1n2＋2n2．公式法利用an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.或利用等差、等比通项公式.【例2】已知下面各数列{}na的前n项和为nS的公式，求{}na的通项公式．(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n－2.练习1．已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求数列{an}的通项公式．(1)Sn＝n2＋n；(2)Sn＝12n2＋12n＋1.【例3】已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求{an}通项公式．新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆练习1．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，an＋1＝n＋2nSn(n＝1,2,3，…)．求证：数列Snn是等比数列．3．累加法累加法主要解决形如)(1nfaann形式的递推数列的求通项问题，该数列的()fn具有典型的特点：可以求和．其解题步骤是：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累加法(逐差相加法)求解．【例4】已知数列na满足12a，12nnaan，求na．【例5】已知数列na满足211a，nnaann211，求na．练习1．已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。练习2．已知数列na中，12a满足12nnnaan,求数列na的通项公式．练习3．已知数列na中，11a满足111nnaann,求数列na的通项公式．4．累乘法累加法主要解决形如1()nnaafn形式的递推数列的求通项问题，该数列的()fn具有典型的特点：可以求积．其解题步骤是：把原递推公式转化为1()nnafna，利用累乘法(逐差相加乘)求解．【例6】已知数列na满足11a，12nnanan，求na．练习1．已知数列na满足321a，nnanna11，求na。练习2．已知31a，nnanna23131)1(n，求na．5．构造等差、等比数列（构造法）构造法主要解决形如1()()(0,1)nnaqnapnpq类型的问题，其基本策略是对1nnaqap进行变形，使其可以变为一个新的等比或等差数列，求出新的等差或等比数列的通项公式，进而求出na的通项公式．类型1：1nnaqap，(0,1)pq基本策略：若数列满足1nnaqap(,)qp为常数，则可考虑待定系数法设1nnaxqax(x其中为待定系数，xqxp满足，构造新的辅助数列{}nax是首项为1ax公比为q的等比数列，求出nax再进一步求通项na【例7】已知数列na中，11a，321nnaa，求na.练习1．已知数列{an}满足a1＝1，121nnaa，求na的通项公式．练习2．已知数列{an}的前n项和nS满足21()nnSannN，求na的通项公式．类型2：1()(1)nnaqafnq【例8】已知数列{}na满足1132313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式13231nnnaa转化为111213333nnnnnaa，进而求出112232111122321()()()()333333333nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaa，即得数列3nna的通项公式，最后再求数列{}na的通项公式．练习1．数列{}na满足12a，且1122()nnnaanZ，求数列{}na的通项公式．练习2．已知数列{}na满足112356nnnaaa，，求数列na的通项公式。6．取倒数法【例9】已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2anan＋2，则数列1an是否为等差数列？说明理由．练习1．1,13111aaaannn求数列na的通项公式.练习2．已知数列{an}满足a1＝3，anan－1＝2an－1－1(n≥2)．(1)求a2，a3，a4；(2)求证：数列1an－1是等差数列，并写出{an}的一个通项公式．