2020高考数学第四章三角函数解三角形

第四章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：角α的弧度数公式|α|＝lr(l表示弧长)角度与弧度的换算①1°＝π180rad；②1rad＝180π°弧长公式l＝|α|r扇形面积公式S＝12lr＝12|α|r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sinαx叫做α的余弦，记作cosαyx叫做α的正切，记作tanα各象限符号一＋＋＋二＋－－三－－＋四－＋－三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线[小题体验]1．若θ是第二象限角，且满足sinθ2＜0，则θ2的终边在第________象限．答案：三2．若角α的终边过点Psin5π6，cos5π6，则tanα＝________.答案：－33．α为第一象限角，则sinα＋cosα________1.(填“＞”“＜”“＝”)答案：＞1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．4．三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx.[小题纠偏]1．－1000°是第________象限角，α＝3是第________象限角，72°＝________rad.答案：一二2π52．如图所示，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是____________．答案：(cosθ，sinθ)考点一角的集合表示及象限角的判定基础送分型考点——自主练透[题组练透]1.下列命题中，真命题是()A．第一象限角是锐角B．直角不是任何象限角C．第二象限角比第一象限角大D．三角形的内角一定是第一或第二象限角解析：选B390°是第一象限角，但不是锐角，A错；135°是第二象限角，390°＞135°，C错；直角不是任何象限角，D错，B对．2．若α＝kπ－π4(k∈Z)，则α在()A．第一象限或第三象限B．第一象限或第二象限C．第二象限或第四象限D．第三象限或第四象限解析：选C当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2mπ＋3π4，所以α在第二象限；当k＝2m(m∈Z)时，α＝2mπ－π4，所以α在第四象限．故选C.3．设集合M＝xx＝k2·180°＋45°，k∈Z，N＝xx＝k4·180°＋45°，k∈Z，那么M________N．(填“＝”“⊆”“⊇”)解析：法一：由于M＝xx＝k2·180°＋45°，k∈Z＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝xx＝k4·180°＋45°，k∈Z＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M⊆N.法二：由于M中，x＝k2·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝k4·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N.答案：⊆4．终边在直线y＝3x上的角的集合为__________________．夹角是π3，终边解析：在坐标系中画出直线y＝3x，可以发现它与x轴正半轴的在直线y＝3x上的角的集合为αα＝kπ＋π3，k∈Z.答案：αα＝kπ＋π3，k∈Z5．(2018·嘉兴七校联考)设角α是第三象限角，且满足sinα2＝－sinα2，则α2是第________象限角．解析：因为角α是第三象限角，所以2kπ＋π＜α＜2kπ＋3π2(k∈Z)，所以kπ＋π2＜α2＜kπ＋3π4(k∈Z)，所以α2是第二或第四象限角．又因为sinα2＝－sinα2，所以sinα2＜0，所以α2是第四象限角．答案：四[谨记通法]1．终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；(2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；(4)求并集化简集合．2．确定kα，αk(k∈N*)的终边位置3步骤(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围；(2)再写出kα或αk的范围；(3)然后根据k的可能取值讨论确定kα或αk的终边所在位置．考点二扇形的弧长及面积公式基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20cm，则扇形的面积为()A．40πcm2B．80πcm2C．40cm2D．80cm2解析：选B∵72°＝2π5，∴S扇形＝12|α|r2＝12×2π5×202＝80π(cm2)．2．若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12cm，则弧长l等于()A.433πcmB.833πcmC.43cmD．83cm解析：选B设扇形的半径为rcm，如图．由sin60°＝6r，得r＝43cm，∴l＝|α|·r＝2π3×43＝833πcm.3．(2019·瑞安模拟)设扇形的周长为8，面积为4，则扇形的圆心角的弧度数为________．解析：联立2r＋l＝8，12lr＝4.解得r＝2，l＝4，所以扇形的圆心角的弧度数为|α|＝lr＝42＝2.答案：24．若扇形的圆心角α＝60°，半径R＝10cm，求扇形的弧长l及扇形的弧所在的弧形的面积．解：∵α＝60°＝π3，R＝10cm，∴l＝Rα＝10×π3＝10π3cm.设弧形的面积为S，则S＝12R2α－12R2sinπ3＝12×102×π3－12×102×32＝50π3－253cm2.[谨记通法]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式是S＝12lr＝12|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．考点三三角函数的定义题点多变型考点——多角探明[锁定考向]任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中多以选择题、填空题的形式出现．常见的命题角度有：(1)三角函数定义的应用；(2)三角函数值的符号判定．[题点全练]角度一：三角函数定义的应用1．已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－513，则1sinα＋1tanα＝________.解析：∵角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－513，∴cosα＝－xx2＋36＝－513，即x＝52或x＝－52(舍去)，∴P－52，－6，∴sinα＝－1213，∴tanα＝sinαcosα＝125，则1sinα＋1tanα＝－1312＋512＝－23.答案：－232．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝________.解析：设P(t,2t)(t≠0)为角θ终边上任意一点，则cosθ＝t5|t|.当t＞0时，cosθ＝55；当t＜0时，cosθ＝－55.因此cos2θ＝2cos2θ－1＝25－1＝－35.答案：－35角度二：三角函数值的符号判定3．(2019·湖州六校联考)已知sin2θ＜0，且|cosθ|＝－cosθ，则点P(tanθ，sinθ)在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B由|cosθ|＝－cosθ可知cosθ＜0，由sin2θ＝2sinθcosθ＜0可知sinθ＞0，所以tanθ＜0.所以点P(tanθ，sinθ)在第二象限．4．已知点P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，则角θ是第________象限角．解析：因为点P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，所以sinθ·cosθ＜0,2cosθ＜0，即sinθ＞0，cosθ＜0，所以θ为第二象限角．答案：二[通法在握]定义法求三角函数的3种情况(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．[演练冲关]1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sinα＋1cosα＝()A．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sinα＝－45，cosα＝35，∴sinα＋1cosα＝－45＋53＝1315.2.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为45，则cosα的值为()A.45B．－45C.35D．－35解析：选D因为点A的纵坐标yA＝45，且点A在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－35，由三角函数的定义可得cosα＝－35.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知点P(tanα，sinα)在第三象限，则角α的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选D因为点P在第三象限，所以tanα＜0，sinα＜0，所以α的终边在第四象限，故选D.2．(2018·舟山五校联考)若tanα＜0，则()A．sinα＜0B．cosα＞0C．sinαcosα＜0D．2cos2α－1＜0解析：选C因为tanα＜0，所以α是第二或第四象限角，所以sinα，cosα的符号不确定，故排除A、B；当α是第二象限角时，sinα，cosα符号相反，所以sinαcosα＜0；当α是第四象限角时，sinα，cosα符号相反，所以sinαcosα＜0，故选C.3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0＜α＜π)的弧度数为()A．π3B．π2C．3D．2解析：选C设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为3r，所以3r＝αr，所以α＝3.4．在直角坐标系中，O是原点，A(3，1)，将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为__________．解析：依题意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，设点B坐标为(x，y)，所以x＝2cos120°＝－1，y＝2sin120°＝3，即B(－1，3)．答案：(－1，3)5．(2019·丽水模拟)已知角α的终边经过点(2，－2)，则sinα＝________，sinαcosα＝________.解析：因为角α的终边经过点(2，－2)，所以sinα＝－22，cosα＝22，sinαcosα＝－12.答案：－22－12二保高考，全练题型做到高考达标1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是()A．π3B．π6C．－π3D．－π6解析：选C将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A、B不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16，即为－16×2π＝－π3.2．(2019·台州模拟)已知点P(sin(－30°)，cos(－30°))在角θ的终边上，且θ∈[－2π，0)，则角θ的大小为()A．－π3B．2π3C．－2π3D．－4π3解析：选D因为P(sin(－30°)，cos(－30°))，所以P－12，32，所以θ是第二象限角，又θ∈[－