一次函数和二次函数

第二章第二单元一次函数和二次函数1．一次函数（1）一次函数的概念函数叫做一次函数，它的定义域是R，值域为R.一次函数的图象是，其中k叫做该直线的，b叫做该直线在y轴上的．一次函数又叫．（2）一次函数的性质①函数的改变量Δy＝与自变量改变量Δx＝的比值等于，k的大小表示直线与x轴的．②当k0时，一次函数是；当k0时，一次函数是．③当b＝0时，一次函数为，是；当b≠0时，它．④直线y＝kx＋b与x轴的交点为，与y轴的交点为。2．二次函数（1）函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做，它的定义域为R.（2）二次函数的性质与图象图象函数性质a＞0a＜0定义域x∈R值域a0a024[,)4acbya24(,]4acbya奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数单调性a0a0(,],2bxa时递增[,)2bxa时递减图象特点241:;2:(,)224bbacbxaaa对称轴顶点最值抛物线有最低点，当2bxa时，y有最小值2min44acbya抛物线有最高点，当2bxa时，y有最大值2max44acbya(3)配方法(,],2bxa时递减[,)2bxa时递增将二次函数y＝ax2＋bx＋c配成顶点式y＝xa(－h)2＋k来求抛物线的顶点和函数y的最值问题．配方法是研究二次函数的主要方法，熟练地掌握配方法是掌握二次函数性质的关键，对一个具体的二次函数，通过配方就能知道这个二次函数的主要性质．（4）二次函数解析式的三种形式①一般式：f（x）=ax2+bx+c(a≠0).②顶点式：f(x)=f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)，(k，h)为顶点坐标．③两根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，x1、x2为两实根．3．待定系数法一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数.这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法。题型一一次函数的图象和性质1、已知一次函数23)2(2mmxmy，它的图象在y轴上的截距为4，则m的值为（）（A）4（B）2（C）1（D）2或1【答案】．C；2、一次函数kkxy，若y随x的增大而增大，则它的图象经过（）（A）第一、二、三象限（B）第一、三、四象限（C）第一、二、四象限（D）第二、三、四象限【答案】．B；3、已知函数355,5yxx，则其图象的形状为（）（A）一条直线（B）一条线段（C）一系列点（D）不存在【答案】．B；4．如果ab0，bc0，那么ax＋by＋c＝0的图象的大致形状是（）【答案】A5．已知直线y＝kx＋b过点A(x1，y1)和B(x2，y2)，若k0且x1x2，则y1与y2的大小关系是（）A．y1y2B．y1y2C．y1＝y2D．不能确定【解析】∵k＜0，∴y＝kx＋b是减函数．∴当x1＜x2时，y1＞y2.【答案】A题型二二次函数的图象和性质1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如右图所示，则()A．a0，b0B．a0，c0C．b0，c0D．a、b、c均小于0【解析】由图象开口向下知a0，而－b/2a0，∴b0又f(0)＝c0.【答案】C2.若二次函数bxaaxxf2242)(对任意的实数ｘ都满足)3()3(xfxf，则实数ａ的值为（）Ａ．23Ｂ．－23Ｃ．－３Ｄ．３【答案】Ｄ．【方法技巧】在解决与二次函数对称轴有关的问题时如果能合理应用下面的结论会简化解题过程：若函数对任意的实数ｘ满足)()(mxfmxf，则)(xf的对称轴是ｘ＝ｍ．3．已知函数f(x)＝2x2－3x＋1，(1)求这个函数图象的顶点坐标和对称轴方程；(2)求这个函数的最小值；(3)不直接计算函数值，试比较f(－1)和f(1)的大小．【思路点拨】本题考查二次函数的基本性质，第(3)问首先利用函数f(x)的对称性：f（x－h)＝f(x＋h)，把要比较的两个值转化到同一个单调区间上，再利用函数的单调性比较它们的大小．也可以比较两个自变量离对称轴的距离大小，从而得到它们的大小关系．本题a＝2＞0，拋物线开口向上，331144，离对称轴远的函数值大，所以f(－1)＞f(1)这也是常用的方法，应熟练掌握．【解析】（1）将函数配方化为顶点式【方法技巧】讨论二次函数的性质一定要结合二次函数的图象，为了方便，通常画草图，有时可以省去y轴，利用单调性比较两个数值的大小，关键是利用对称性将它们转化到同一单调区间上，这里体现了数形结合及化归等重要思想方法．4.已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的根为________．【解析】由图知拋物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标是(3,0)，所以拋物线与x轴的另一个交点坐标是(－1,0)，所以关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的根为x1＝－1，x2＝3.【答案】－1,35．已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1的图象与x轴总有交点．(1)求m的取值范围；(2)当函数图象与x轴的两个交点的横坐标的倒数和等于－4时，求m的值．【解析】(1)当m＋6＝0，即m＝-6时，函数y＝－14x－5与x轴有一个交点；当m＋6≠0时，Δ＝4(－9m－5)≥0，解得m≤59，即当m≤59，且m≠－6时，抛物线与x轴有交点．综合m＋6＝0和m＋6≠0可知，当m≤59时，此函数的图象与x轴有交点．(2)设x1，x2是方程(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1＝0的两个根，当m＝－3时，m＋6≠0，Δ0，符合题意，∴m的值是－3.【方法技巧】对于y=ax2+bx+c要认为它是二次函数，就必须认定a≠0.当题目条件未说明a≠0时，就要讨论a=0和a≠0两种情况.题型三二次函数的最值问题1．求函数y＝2x2－4x－3的最值．(1)x∈R；(2)x∈[－2,0]；(3)x∈[0,3]；(4)x∈[2,4]．【解析】对二次函数配方，得y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5.(1)若x∈R，当x＝1时，ymin＝－5；无最大值．(2)若x∈[－2,0]，当x＝－2时，ymax＝13；当x＝0时，ymin＝－3.(3)若x∈[0,3]，当x＝1时，ymin＝－5；当x＝3时，ymax＝3.(4)若x∈[2,4]，当x＝2时，ymin＝－3；当x＝4时，ymax＝13.2．求函数)(xf＝122axx在区间[0,2]上的最大值和最小值.【解析】)(xf＝)1(22aax由于)(xf的图象（抛物线）的对称轴ｘ＝ａ对于[0,2]的位置有四种可能.当a＜0时，max)(xf＝)2(f＝a43，1)0()(minfxf当0≤ａ＜1时,max)(xf＝)2(f＝a43，1)()(2minaafxf当1≤ａ＜2时,max)(xf＝)0(f＝－1，1)()(2minaafxf当ａ≥2时,，max)(xf＝)0(f＝－1，min)(xf＝)2(f＝a43【方法技巧】(1)利用单调性求最值或值域应先判断函数在给定区间上的单调性．(2)求解二次函数在某区间上的最值，应判断它的开口方向、对称轴与区间的关系，若含有字母应注意分类讨论，解题时最好结合图象解答．题型四由特殊值求待定系数1．已知一次函数y＝kx＋b，x＝1时，y＝－2，且在y轴上的截距为－5，那么它的解析式是（）A．y＝3x＋5B．y＝－3x－5C．y＝－3x＋5D．y＝3x－5【答案】D2．过点A(－2,3)的反比例函数的解析式是（）6632....23AyByCyxDyxxx【答案】B．3．二次函数的顶点坐标为(2，－1)，且过点(3,1)，则解析式为________．【答案】y＝2x2－8x＋74．一次函数y＝3x＋b的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则一次函数的解析式为________．【解析】即b2＝144，∴b＝±12.∴解析式为y＝3x±12.【答案】y＝3x±125．已知二次函数图象的对称轴是ｘ＝２，又经过点（2，3），且与一次函数bxy3的图象交于点（0，－1），求过一次函数与二次函数的图象的另一个交点的坐标．【解析】已知二次函数图象的对称轴为x=2，且又经过点（2，3），则二次函数图象的顶点为（2，3），设二次函数为ｙ＝3)2(2xa；以（０，－1）代入，得a＝－1，∴ｙ＝142xx①再以（０，－1）代入bxy3，得b＝1，∴ｙ＝ｘ－1②，联立①，②13142xyxxy消去y，得x2－x＝0，方程组的解为10yx或21yx，所求另一个交点坐标为（1，2）题型五由恒等式求待定系数1．若231111xABxxx，则A，B.【解析】2．已知二次函数)(xf满足)0(f＝１，)1(xf－)(xf＝２ｘ，则)(xf＝（）Ａ．12xxＢ．122xxＣ．12xxＤ．22xx【答案】C3．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数为y＝x2－2x＋1，求该二次函数的解析式．【解析】将y＝x2＋bx＋c的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得解析式为y＝(x＋2)2＋b(x＋2)＋c＋3＝x2＋(b＋4)x＋2b＋c＋7.令x2＋(b＋4)x＋2b＋c＋7＝x2－2x＋1，题型六二次函数三种解析式的灵活运用【方法技巧】二次函数解析式有三种表达形式，1.一般式：y=ax2+bx+c；其中a≠0,a,b,c为常数2.顶点式：y=a(x-h)2+k；其中a≠0,a,h,k为常数，（h,k）为顶点坐标。3.交点式：y=a(x-x1)(x-x2)；其中a≠0,a,x1,x2为常数，x1,x2是抛物线与横轴两交点的横坐标.每种形式都有三个待定的系数，所以用待定系数法求二次函数解析式应注意以下几点：（1）根据题目给定的条件注意选择适当的表达形式，一般已知抛物线的顶点，用顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)；已知抛物线与x轴的两个交点（或与x轴的一个交点及对称轴），用两点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)；（2）解题过程中待定的系数越少，需构造的方程也越少，这样可以大大简化计算过程，故尽量由已知直接确定某些系数；（3）若题目给定二次函数解析式的某种形式（如y=ax2+bx+c=0(a≠0)），那么最后的结果必须写成此种形式。1．已知抛物线与x轴交于点(－1,0)，(1,0)，并且与y轴交于点(0,1)，则抛物线的解析式为A．y＝－x2＋1B．y＝x2＋1C．y＝－x2－1D．y＝x2－1【解析】由题意抛物线对称轴是y轴且开口向下，顶点(0,1)故抛物线为y＝－x2＋1.【答案】A2.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-3，0），对称轴x=-1,顶点C到x轴的距离为2，求此抛物线的解析式。解法1：依题意，得.244,12,0392abacabcba解得.23,1,21;23,1,21cbacba或∴2321232122xxyxxy或即所求.解法2:∵抛物线对称轴x=-1,顶点到x轴的距离为2，∴顶点（-1，±2）设y=a(x+1)2±2,抛物线过（-3，0）,∴0=a(-3+1)2±2.解得a-21或21a∴y-21(x+1)2+2=23212xx或2321212122xx)x(y解法3：∵抛物线对称轴x=-1,过（-3，0）∴由对称性知抛物线必过（1，0）设y=a(x+3)(x-1),抛物线过（-1，±2）∴±2=a×2×(-2)解得：a21∴2321232122xxyxxy或【方法技巧】此例给出3种解法，显然解法2、解法3较简便，因为它们只需待定一个系数a,只要