根与系数的关系

19一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理和它的逆定理)教学目标(一)通过观察、归纳，猜想根与系数的关系，并证明此关系成立，使学生理解其理论根据：(二)使学生会运用根与系数关系解题.教学重点和难点重点：根与系数关系的推导.难点：根与系数关系的运用.教学过程设计(一)引言我们知道，方程的根的值是由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的各项系数a,b,c决定的.我们还知道根的性质(有、无实数根及实数根的个数)由b2-4ac决定.今天我们来研究方程的两根之和及两根之积与a,b,c有什么关系?先填表，归纳出规律，然后给予严密的证明.（二）新课从表格中找出两根之和x1+x2与两根之积x1·x2和a,b,c的关系：1.先从前面三个方程(二次项系数是1)观察x1+x2,x1x2的值与一次项系数及常数项的关系.(两根和等于一次项系数的相反数，两根积等于常数项)2.再看后面三个方程(二次项系数不是1)，观察x1+x2,x1x2的值与系数的关系.(在把方程的二次项系数化为1后，仍符合上述规律)3.猜想ax2+bx+c=0(a≠0)的x1+x2,x1x2与a,b,c的关系(引导学生化为x2+0acxab后，猜想)为x1+x2=-ab，x1x2=ac.4.怎样证明上面的结论.启发学生：求根公式是具有一般性的，我们用求根公20式来证明就可以了.证明：设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,5.读课文以强化印象.6.为了使这个定理易于记忆，我们把二次项系数是1的方程叫做“简化的一元二次方程”.如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1x2=q.教师必须要求学生能用语言表达上述定理.“对于简化的二次方程，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项”.(这个定理又叫做韦达定理)7.“对于简化的二次方程，一次项的系数等于两根之和的相反数，常数项等于两根之积”.(这是韦达定理的逆定理)例题讲解例1已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.解：把方程两边都除以5，化为最简二次方程例1已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.21例2利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2+3x-1=0两根的(1)平方和；(2)倒数和.分析：根与系数关系告诉我们，不必解出方程，可以直接用方程的系数来表示两根之和与两根之积.如查我们所求的式子可以转化成用两根之和及两根之积表示，也就可以直接把方程的系数代入，算出结果了.例3求一个一元二次方程，使它的两根分别是分析：“对于简化的一元二次方程，一次项的系数等于两根之和的相反数，常数项等于两根之积”.22例4已知两数的和等于8，积等于9，求：这两个数.分析：我们可以用多种方法来解决这个问题.解法1：设两个数中的一个为x,因为两数之和为8，所以另一个数为8-x.再根据“两数之积为9”，可列出方程x(8-x)=9.解法2：设两个数是x,y,可列出方程组这类方程组的解法，我们将在以后学到.解法3：因为两根和与两根积都已知，我们可以直接造出一个是简化二次方程.x2-8x+9=0.这就是方法1得到的方程.23(三)课堂练习1.已知方程x2-12x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m=.2.已知关于x的一元二次方程(k2-1)x2-(k+1)=0的两根互为倒数，则k的取值是().3.已知方程x2+3x+k=0的两根之差为5，k=.答案或提示24(四)小结1.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.2.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当b2-4ac≥0时，才能应用根与系关系.3.已知方程的两根，求作一元二次方程时，要注意根与系数的正、负号.(五)作业1.设方程3x2-5x+q=0的两根为x1和x2，且6x1+x2=0,那么q的值等于().2.若关于x的方程3(x-1)(x-2m)=x(m-12)的两根之积等于两根之积，则此方程的两根为().3.已知关于x的二次方程x2+2px+2q=0有实数根，其中p,q都是奇数，那么它的根().(A)一定都是奇数(B)一定都是偶数(C)有可能是真分数(D)有可能是无理数4.(1)如果-5是方程5x2+bx-10=0的一个根，求方程的另一个根及b的值.(2)如果是方程x2+4x+c=0的一个根，求方程的另一个根及c的值.255.设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值：6.求一个元二次方程，使它的两个根分别为7.已知两个数的和等于-6，积等于2，求这两个数.26作业的答案或提示.一元二次方程的根与系数的关系练习与测试1．已知关于x的方程)0(02acbxax有一个正根和一个负根，则这个方程的判别式acb420，常数项c0。272．如果关于x的方程02mxx有两个不相等的实数根且两根之差的平方和不小于1，那么实数m的取值范围是。3．一个直角三角莆的两条直角边的长的和为6cm，面积为227cm，则这个三角形的斜边长为cm。4．矩形的一边为3，对角线长为5，则以矩形相邻两边为根的一元二次方程为。285．若关于x的方程)0(02mmxmx的两根为x1、x2，（1）用m的代数式来表示2111xx；（2）设2144xxS，把S用m的代数式表示；（3）当S=16时，求m的值并求此时方程两根的和与积。296．已知：关于x的方程)0(0122mmxmx（1）求证；这个方程必有两个不等的实数根；（2）若m-1=1，试证明：02121xxxx（x1，x2是原方程的两个根）7．若正数k是4和9的比例中项，（1）求k的值；（2）求证：关于x的方程02kkxx，必定有两根不等实数根；（3）求证：方程的两根必定是一正一负。308．设)0(cbakbacacbcba（1）求k的值；（2）证明：关于x的方程1)1(22kxkx，必有两异号实根，并求出两根的立方和。9．已知方程08242mxx的两个实数根中一个大于1，另一个小于1，求m的取值范围。3110．已知关于x的方程422aaxx（1）求证方程必有两个相异实数根；（2）a取何值时，方程有两个正根；（3）a取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大；（4）a取何值时，方程至少有一个根为零？32【练习与测试参考答案或提示】1．、；2．410m；3．22；4．01272xx；5．（1）mxx11121，（2）mS4；（3）41m，两根的和为4，两根积为16．（1）04)1(4mm这个方程必定有两个不等的实数根（2）01222121xxxx;7．（1）k=6（2）02436，（3）∵0x1x2=-6021,xx一正一负；8．（1）k=2（2）方程x2-5x-1=0∵△0x1x2=-10∴方程两根必异号。1403231xx9．根据题意，m应满足)2(0)1)(1()1(021xx由（1）得20)82(4161mm由（2）得01)(2121xxxx2501482mm综合（1），（2）得25x10．（1）把方程化为一般形式：0422aaxx∵0]425)21[(4)4(4)4(4)2(222aaaaa恒成立。∴无论a取任何实数，方程必有两个相异实数根。（2）要使方程有两正根，只需满足002121xxxx即可。即40204aaa∴当a4时，原方程有两个正根。（3）要使方程有两个异号根，且负根的绝对值较大，只需满足002121xxxx即00204aaa（4）要使方程至少有一个根为零，只需x1x2=0，即a-4=0，a=4