第四章-傅里叶变换和系统的频域分析

Chapter4傅里叶变换和系统的频域分析FourierTransformandFrequency-DomainAnalysisofSystemsChapter4傅里叶变换和系统的频域分析page2第四章傅里叶变换和系统的频域分析第二、三章中分别讨论了连续时间系统和离散时间系统的时域分析法。以冲激函数或单位序列为基本信号，任意信号可分解为一系列冲激函数或单位序列，而系统的响应（零状态响应）是输入信号与系统冲激响应或单位序列响应的卷积。()()()ftftd()()()ifkfiki()()()zsiykfihki()()()zsytfhtdChapter4傅里叶变换和系统的频域分析page3本章主要讨论连续信号的傅里叶变换和连续系统的频域分析法。()()jtFjftedt以非周期信号为例：1()()2πjtftFjed所谓傅里叶变换（含正变换和逆变换），其目的是以正弦函数或虚指数函数为基本信号，将任意连续时间信号表示为一系列不同频率的正弦函数或虚指数函数之和（对于周期信号）或积分（对于非周期信号）。jteChapter4傅里叶变换和系统的频域分析page4接下来我们可证明，连续LTI系统对虚指数函数的响应仍是同频率的虚指数函数，只是乘上了一个与有关的复常数。jte()()jtzsythte()()jthed[()]jjthede.LTIejωtejωtH(jω)1()[()][()]2πjtzsytFjdHje输出()jtHje1()[()]2πjtftFjde输入Chapter4傅里叶变换和系统的频域分析page5h(t)f(t)yzs(t)时域分析法()()()zsytftht频域分析法H(jω)F(jω)Yzs(jω)()()()zsYjFjHj1()[()()]2πjtzsytFjHjed1()2πjtzsYjed()()()zsytfhtd卷积乘积Chapter4傅里叶变换和系统的频域分析page6频域分析法的优点：1.将卷积运算转换为乘积运算，使运算简化。2.物理意义更明确。【不存在，正余弦函数常见】()t3.将反卷积运算转换为除法运算。Chapter4傅里叶变换和系统的频域分析page7$4.5傅里叶变换的性质（）$4.6能量谱和功率谱（能量谱定义功率谱定义及二者关系）线性奇偶性对称性尺度变换时移频移卷积定理时域微积分频域微积分相关定理第四章傅里叶变换和系统的频域分析$4.1信号分解为正交函数（正交函数集的定义信号分解公式）$4.2傅里叶级数（三角函数形式奇/偶函数的级数特点指数形式）$4.3周期信号的频谱（频谱定义矩形脉冲频谱特点信号功率）$4.4非周期信号的频谱（引出傅里叶变换某些特殊函数结果）$4.7周期信号的傅里叶变换（求解方法与傅里叶级数关系）$4.8LTI系统的频域分析（频率响应及频域分析无失真传输理想低通）$4.9取样定理（信号的取样时域取样定理频域取样定理）Chapter4傅里叶变换和系统的频域分析page84.1信号分解为正交函数4.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的概念类似。xyAC1vxC2vy012xyACvCv为轴和轴的单位矢量,组成一个二维正交矢量集。,xyvvxy矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合。Chapter4傅里叶变换和系统的频域分析page94.1信号分解为正交函数一.正交函数集1.正交函数在区间上定义的非零实函数和,若满足条件，则称函数和为在区间的正交函数。12(,)tt1()t2()t2112()()0ttttdt1()t2()t12(,)tt2.正交函数集在区间上定义的个非零实函数，其中任意两个均满足,则称函数集为在的正交函数集。12[,]ttn1(),,()ntt210,()(),tijtiijttdtKij1{(),,()}ntt12(,)ttChapter4傅里叶变换和系统的频域分析page104.1信号分解为正交函数3.完备正交函数集如果在正交函数集之外不存在函数满足等式，则称该函数集为完备正交函数集。1{(),,()}ntt()t21()()0,1,2,,titttdtin例：三角函数集在区间组成完备正交函数集。其中，。{1,cos,,cos(),,sin,,sin(),}tmttnt00(,)ttT2πT原因：000,cos()cos()2,0,0tTtmnmtntdtTmnTmn*（自己下去验证，后同）Chapter4傅里叶变换和系统的频域分析page114.1信号分解为正交函数000,sin()sin()2,0tTtmnmtntdtTmn*00sin()cos()0tTtmtntdt*对任意的和mn注意：正弦函数集是正交函数集，但不是完备正交函数集。{sin,sin(2),,sin(),}ttnt如果是复函数集，若在区间满足：1{(),,()}ntt12(,)tt210,()(),tijtiijttdtKij，则称此函数为正交函数集。Chapter4傅里叶变换和系统的频域分析page124.1信号分解为正交函数例：复函数集在区间组成完备正交函数集。其中，。{}(0,1,2,)jnten00(,)ttT2πT原因：000,(),tTjmtjnttmneedtTmn*11221()()()()()nnnjjjftCtCtCtCt式(a)二.信号分解为正交函数的线性组合12(),(),,()nttt设有个函数在区间构成一个正交函数空间。将任一函数用这个正交函数的线性组合来近似，可表示为：12(,)ttn()ftn（自己下去验证）Chapter4傅里叶变换和系统的频域分析page134.1信号分解为正交函数显然，应选取各系数使实际函数与近似函数在区间内的误差为最小。为防止正负误差相互抵消的情况，通常采用最小均方误差准则。其中的均方误差定义为：jC12(,)tt在中，为求得，必须使。即：1,2,,,,jiniC20iC2121{[()()]}0ntjjtjiftCtdtC21221211[()()]ntjjtjftCtdttt式(b)Chapter4傅里叶变换和系统的频域分析page144.1信号分解为正交函数2122112{{()()[())}0](}nnjjjjjjttiftCtfttCdtC21()()0tjktttdtjk根据【所有交叉项的积分为零】21211{{}}2()()[0()]nnjjjjjjttifdttCtCtC【中不含项】212()ttftdtiC2122111{[2()()()2()()]}0nnntiijjjkjktjjkiftCtCtCCttdtCjk【求和号去掉】212211{[2()()()2()()]}0nntiiiijkjktjkiftCtCtCCttdtCjk【求和号去掉】Chapter4傅里叶变换和系统的频域分析page154.1信号分解为正交函数可推得：2122{[2()()()]}0tiiiitiCfttCtdtC交换微分与积分次序，可得：221122()()2()0ttiiittfttdtCtdt22112(()())titittifttdttdtC式中。211()()titifttdtK212()tiitKtdt式(c)Chapter4傅里叶变换和系统的频域分析page16【】4.1信号分解为正交函数展开前面的式(b)，可得：21221211[()()]ntjjtjftCtdttt21221122211211[()(())2(])nnttjjjttjtjjtftdtCtdtCttfttdt由于,得：212121(),()()tjjjjtjttKtdtCfttdtK2122211211[()2]nntjtjjjjjjftdtCKCttCK21221211[()]ntjjtjftdtCKtt21112()()0nntjkjktjkCCttdtjkChapter4傅里叶变换和系统的频域分析page174.1信号分解为正交函数由于，显然当所取的项数越大时，均方误差越小。（越大，越接近于）20,0jKn2当时，。此时有：n20(1)1()()jjjftCt物理意义：信号可展开为无穷多项正交函数的线性组合，各项的展开系数按式(c)计算。n21njjjCK212()ttftdt(2)21221()tjjtjftdtCK物理意义：信号的能量等于各正交分量的能量和。()ft【的能量为】()jtjKChapter4傅里叶变换和系统的频域分析page184.2傅里叶级数4.2傅里叶级数本节的任务是将周期信号在区间展开成在完备正交函数集中的无穷级数。如果完备的正交函数集是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的无穷级数就分别称为“三角型傅里叶级数”或“指数型傅里叶级数”，统称为傅里叶级数。()()ftftmT00(,)ttT{1,cos,,cos(),,sin,,sin(),}tmttnt{}(0,1,2,)jntenChapter4傅里叶变换和系统的频域分析page194.2傅里叶级数一.周期信号的分解（结果为三角函数的形式）设有一个周期信号,它的周期是,角频率()ftT2π2πFT,它可分解为:（前提：满足狄里赫利条件）012()cos()cos(2)2aftatat12sin()sin(2)btbt011cos()sin()2nnnnaantbnt其中称为傅里叶系数。,nnab教材P120Chapter4傅里叶变换和系统的频域分析page204.2傅里叶级数傅里叶系数可按$4.1中的相关公式计算：,nnab2221112()()()()(1)titttiiititKtdtfttdtCfttdt22222()cos(os()c)TTTTnftnttandttd2222()cos()0()210TTTTTTftntdtnftdtnChapter4傅里叶变换和系统的频域分析page214.2傅里叶级数因此，在最终展开式中的常数项为。02a为保证计算公式的统一起见，定义：na222()cos()TTnaftntdtT*na是关于的偶函数。即：。nnnaanb是关于