函数与不等式专题练习(附答案)

函数与不等式1.已知函数()2()xfxxR，且()()()fxgxhx，其中()gx为奇函数，()hx为偶函数。若不等式2()(2)0agxhx对任意[1,2]x恒成立，则实数a的取值范围是1712a。简解：222221,222xxxxax222222xxxx2.不等式228()abbab对于任意的,abR恒成立，则实数的取值范围为8,4。简解：方法一利用二次函数的思想，当0b时，R;当0b时，280aabb由0知。方法二：228abab2228abab，28下略。3.已知ABC的三边长,,abc，满足3,23bcacab，则ba的取值范围是。(3/4,5/3)法一：由abcab退开去。法二：利用线性规划23,23,.bcacababcab①为什么可以省略第3式，②换成acbac可以吗？4．已知当x[0,1]时，不等式0sin)1()1(cos22xxxx恒成立，则θ的取值范围____2kπ+12θ2kπ+125,kZ.解析：若对一切x［0，1］，恒有f(x)=0sin)1()1(cos22xxxx，则cosθ=f(1)0,sinθ=f(0)0.(1)取x(0，1)，由于xxxxxf1cossin12，所以，0xf恒成立，当且仅当01cossin2(2)先在［0,2π］中解(1)与(2)：由cosθ0,sinθ0，可得0θ2.又由（2）得sin2θ21注意到02θπ，故有62θ65,所以，12θ125.因此，原题中θ的取值范围是2kπ+12θ2kπ+125,kZ.5．已知)(xf是定义在R上的函数，1)1(f且对任意Rx都有5)()5(xfxf1)()1(xfxf若xxfxg1)()(，则)2002(g．解：由xxfxg1)()(，得1)()(xxgxf，所以5)1()(1)5()5(xxgxxg1)1()(1)1()1(xxgxxg即)()5(xgxg，)()1(xgxg∴)()1()2()4()5()(xgxgxgxgxgxg∴)()1(xgxg即)(xg是周期为1的周期函数，又1)1(g，故1)2002(g6．若1)2(log)2(log44yxyx，则||||yx的最小值是．解：4)2)(2(0202yxyxyxyx440||222yxyx由对称性只考虑0y，因为0x，所以只须求yx的最小值．令uyx公代入4422yx，有0)4(2322uuyy．这是一个关于y的二次方程显然有实根，故0)3(162u，∴3u当334x，33y时，3u．故||||yx的最小值为37.（2012盐城二检）13．设)(xf是定义在R上的可导函数，且满足0)()('xxfxf.则不等式)1(1)1(2xfxxf的解集为．【答案】{|12}xx；解：令()()gxxfx，则'()()()0gxfxxfx，∴()gx为增函数，不等式)1(1)1(2xfxxf可化为221(1)1(1)xfxxfx，即2(1)(1)gxgx，由2111210xxxx，∴不等式)1(1)1(2xfxxf的解集为{|12}xx；说明：体会如何构造函数，又如已知'()2()0fxxfx如何构造函数等。8．在平面直角坐标系内，将适合,3,3,xyxy且使关于t的方程33421()(3)0xytxytxy没有实数根的点(,)xy所成的集合记为N，则由点集N所成区域的面积为。A81/4B83/4C81/5D83/5解答：815令2ut，原方程化为3321()(3)0.xyuxyuxy①233221(3)4()523(53)().xyxyxyxxyyxyxy所给方程没有实根等价于方程①无实根或有实根但均为负根，所以，,3,3,(53)()0xyxyxyxy或,3,3,(53)()0,30.xyxyxyxyxy点集N所成区域为图中阴影部分，其面积为124181363.2525ABOBCOSSS9．若实数a,b,c满足222,2222abababcabc，则c的最大值是．24log310．（高考名师名校交流卷）对于已知的yx,，记}27,27,27min{),(1yyxxyxf错误!未找到引用源。，当)1,0(),1,0(yx错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。),(yxf的最大值为_____________。3111．设x表示不超过x的最大整数，例如，[-3.5]=-4，[2.1]=2.设集合1|)(22yxyxA，，集合B=1|)(22yxyx，，则BA表示的平面区域的面积为_______________.412．(2015·德州市高三二模（4月）数学（理）试题·15)已知函数2ln1fxaxx在区间1,2内任取两个实数,,pqpq且，不等式111fpfqpq恒成立，则实数a的取值范围为___________．【答案】a≤15【命题立意】本题旨在考查函数的单调性，导函数知识．【解析】不妨设pq，则p-q0，111,11,11110,fpfqfpfqpqpqfppfqq令gxfxx，则由题意可知函数g（x）在（2,3）内单调递减，2ln1,'2101agxaxxxgxxx在（2,3）内恒成立，21,1211axaxxx，结合二次函数的性质，可知a≤15．故答案为：a≤15．13.(2013•昌平区一模)在RtABC中,90,4,2,CACBCD是BC的中点,(1)()ABACAD.(2)E是AB的中点,P是ABC(包括边界)内任意一点,则ADEP的取值范围是.【知识点】向量的数量积运算、线性规划【答案解析】（1）2（2）[9,9]（1）以C为坐标原点，CA、CB分别为x，y轴建立直角坐标系，则A(4，0),B(0,2)，D(0,1)，()(0,2)(4,1)2ABACADCBAD;(2)根据题意知，点P所在的平面区域为24000xyxy，(4,1)(2,1)47ADEPxyxy，令47zx，画出平面区域，可知minmax16,2zz。所以ADEP的取值范围是[9,9]。14．定义：对于区间[,),(,),[,],(,]abababab,则ba为区间长度.若关于x的不等式222222(22)470(45)47xaxaaxaaxaa的解集是一些区间的并集，且这些区间长度的和不小于4，则实数a的取值范围是________________.【知识点】一元二次不等式的应用；不等式的解集；根与系数的关系.【答案解析】3a或1a解析：解：注意到不等式左边的分子、分母关于x的二次式的系数的关系：（a2+4a-5）-（2a2+2）=-a2+4a-7设关于x的方程x2+（2a2+2）x-a2+4a-7=0，2+（a2+4a-5）x-a2+4a-7=0的两根分别为x1和x2（x1＜x2）、x3和x4（x3＜x4）注意到：x1x2=x3x4=-a2+4a-7=-（a-2）2-3＜0（x1+x2）-（x3+x4）=（a2+4a-5）-（2a2+2）=-a2+4a-7＜0，所以x1、x2、x3、x4的大小关系是x1＜x3＜x2＜x4，故原不等式的解集为（x1，x3）∪（x2，x4），由题意得（x3-x1）+（x4-x2）≥4，即a2-4a+7≥4，解得a≤1或a≥3．故答案为：a≥3或a≤1．15．已知函数2cos2cossin212aaay0,,aRa.那么对于任意的,a，函数y的最大值为．【知识点】三角函数，最值【答案解析】32函数2cos2cossin212aaay可化为：222sin2(,,0)2cos2aayaRaaa设222sin22cos2aataa，则22cos2sin(1)(2)0,atata所以直线222(1)(2)0,atxayta与圆221xy有公共点，从而有221(2)121taat得22122122221taaaat于是21121tt，得2410tt得2323t16.已知,ab二次不等式20axbxc对任意实数x恒成立，则24abcMba的最小值为817．已知三个正数,,abc满足3abca，223()5baacb，则2bca的最小值是518．18．设函数()fx在R上的导函数为()fx，且22()()fxxfxx，下面不等式在R上恒成立的是A．0)(xfB．0)(xfC．xxf)(D．xxf)(【答案】A【解析】由已知，首先令0x得0)(xf，排除B，D．令2()()gxxfx，则()2()()gxxfxxfx，①当0x时，有2()2()()()0gxfxxfxxgxx，所以函数()gx单调递增，所以当0x时，()(0)0gxg，从而0)(xf．②当0x时，有2()2()()()0gxfxxfxxgxx，所以函数()gx单调递减，所以当0x时，()(0)0gxg，从而0)(xf．综上0)(xf．故选A．19.已知22fxxpxq，4gxxx是定义在集合512Mxx上的两个函数．对任意的xM，存在常数0xM，使得0fxfx，0gxgx，且00fxgx．则函数fx在集合M上的最大值为（）A.92B.4C.6D.892【答案】C试题分析：利用导数可知函数4gxxx在区间51,2上的最小值为4，最大值为5，对任意的xM，存在常数0xM，使得0gxgx，则0min4gxgx，此时02x，根据题意知，minfx04fx，根据题意知min24fxf，即二次函数22fxxpxq的顶点坐标为2,4，因此284pp，228fxxxq，2222288412fqqq，fx222812224xxx，因此函数fx在集合M上的最大值为max16fxf，故选C.所以kk＋1≥12.又因为k为正数，所以k≥1.20.设函数f(x)＝e2x2＋1x，g(x)＝e2xex，对任意x1、x2∈(0，＋∞)，不等式gx1k≤fx2k＋1恒成立，则正数k的取值范围是________．答案[1，＋∞)解析因为对任意x1、x2∈(0，＋∞)，不等式gx1k≤fx2k＋1恒成立，所以kk＋1≥gx1fx2max.因为g(x)＝e2xex，所以g′(x)＝(xe2－x)′＝e2－x＋xe2－x·(－1)＝e2－x(1－x)．当0x1时，g′(x)0；当x1时，