5-5充分统计量

第五节充分统计量1、充分性的概念2、因子分解定理一、充分性的概念不损失信息的统计量就是充分统计量.它概括了样本中所含未知参数的全部信息.例1为研究某运动员的打靶命中率θ,对其进行测试。观测10次，发现除第三、六次未命中外，其余八次都命中。此观测结果包括两种信息：（1）打靶10次命中8次；（2）两次未命中出现在第三、六次打靶上。例2设总体X分布为b(1,θ),X1,X2……,Xn是取自总体的样本，令T=X1+….+Xn,则在给定T的取值t后,对任意一组,有121(,,...,),()nniixxxxt11(,,|)nnPXxXxTt1111111(,,,)()nnnniiniiPXxXxXtxPXt1111()()(1)nniiniiittntnPXxPXtxC11111111(1)(1)(1)nniiiiiintxtxxxittntnC(1)1(1)tntttnttnnCC该条件分布与θ无关，因而T是充分统计量。注1：用条件分布与未知参数无关来表示统计量不损失样本中有价值的信息的方法是可行的.2：充分统计量不唯一.实际上,样本本身就是参数的一个充分统计量.由此,充分统计量总存在.3：若样本容量为n,（在上例中）则T1=x1+x2不是充分统计量.显然,它浪费了n-2个样品的信息.定义:1211,,,(;)(,,,,.nnnxxxFxTTxxTxx(也称为该分布的充分统计量)设是总体分布函数为的样本，统计量)称为的充分统计量,如果在(任意)给定值后,样本的条件分布与无关注：条件分布可用条件分布列或条件密度函数来表示.定理1：设T=T(x1,…xn)是参数θ的一个充分统计量，z=ψ(t)具有单值反函数，则Z=ψ(T)也是θ的一个充分统计量.（即充分统计量经一一对应变换后仍是充分统计量）T和θ可以是向量,维数不一定相同1212~()(;),0,1,!,3..xXPpxexxxxTxx设总体，即为样本，证明=2不是的充分统计量例定理2：以下统称分布列和密度函数为概率函数.111(,...,;)[(,,),](,,)nnnpxxgTxxhxx1111(,,),(;,,(,,(,),,,nnnnhxxpxxxTTxxgtxx充要设总体的概率函数为),是样本，则统计量)为充分统计量的是:存在两个函数和使得对任意的和任一组观测值条件有二、因子分解定理其中g(t,θ)是通过统计量T的取值而依赖于样本的，而h(x1,…,xn)不依赖于θ.例4设x1,x2……,xn是取自总体N(μ,1)的样本，令,则T为μ的充分统计量.Tx1(,,)npxx22211()()()nniiiixxxnx而2211(2)exp{()}2nniix222111(2)exp{()}exp{()}22nniixxnx21,(,)exp{()}2Txgtnt取并令22111(,,)(2)exp{()}2nnniihxxxx由因子分解定理可知,是μ的充分统计量。Tx证：例5设总体X分布为U(0,θ),x1,x2……,xn是取自总体的样本，则T=x(n)是θ的充分统计量.1/,0(;)0,xpxelse10min{}max{}(1/)(;)(;)0niinxxpxpxelse，，(1)(){}1{0},(,)(1/),(,,)nntnxTxgtIhxxI取并令由因子分解定理可知,T=x(n)是θ的充分统计量。证：()(1){}{0}(1/)nnxxII2221211(,,;)(2)exp{()}2nnniipxxx例6设总体X分布为N(μ,σ2),x1,x2……,xn是取自总体的样本，θ=(μ,σ2)是未知的,则是θ的充分统计量.进一步,它的一一对应变换仍是充分统计量.21211(,)(,)nniiiiTttxx证：222222111(2)exp{}exp{(2)}22nnniiiinxx21211,,nniiiitxtx取并令22212212211(,;)(2)exp{}exp{(2)}22(,,)1.nnngtttthxx即可2(,)xs注：若θ是参数向量，T是随机向量，且满足因子分解定理的条件，则T是θ的充分统计量.但不能由T关于θ是充分的,推出T的第i个分量关于θ的第i个分量也是充分的.例7.设x1,x2……,xn是取自均匀分布U(θ,2θ)的样本，其中参数θ0，试给出充分统计量.例8设x1,x2……,xn是取自总体X的样本，其中X的密度为1(;),01,0pxxx111(,....;)()nnniipxxx111,(,),(,,)1nniniTxgtthxx取并令试给出一个充分统计量.(P283)由因子分解定理可知,是θ的充分统计量。1niiTx注：因为充分统计量的一一对应变换仍是充分统计量.故例8中几何平均及其对数都是θ的充分统计量.1,,nnxx11lnniixn解:常见分布的充分统计量分布参数充分统计量两点分布b(1,p)pPoisson分布P(λ)λ几何分布Ge(θ)θ均匀分布U(0,θ)θ均匀分布U(θ1,θ2)(θ1,θ2)均匀分布U(θ,2θ)θ正态分布N(μ,σ2)(μ,σ2)指数分布Exp(λ)λ伽玛分布Ga(α,λ)(α,λ)TxTxTx21(())niixxx,Tx()nTx(1)()(,)nxx(1)()(,)nxx11(,)nniiiixx